论巧用函数与方程的思维联系解题

李子芳

摘要：函数与方程是中学数学中的一个重要组成部分，在中学的数学当中占据着重要地位。在中国一般情况下，初中引入函数与方程的基本知识，高中时深入学习，在高考中应用  颇广。因此，学习好函数与方程，利用函数与方程的思维联系解题十分重要。

关键词：函数思想;方程思想;集合;表达方式

函数思想是解决"数学型"问题的一种思维方式，经历了漫长的研究与探索，其用函数的概念和性质去分析问题、转化问题、解决问题，在数学中应用广泛;而方程思想是对问题用方程解决，是对方程本质的认识，其主要研究变量与变量之间的等式关系（包括不等式与函数），利用方程的性质去分析转化解决问题。

一、函数思想与方程思想

现阶段，函数与方程在我国的数学中占有很重要的地位，在数学问题的分析、转化、解决中应用极为广泛。早期函数概念是在几何观念下的函数，是十七世纪意大利学者伽利略（G.Galileo，1564-1642）在《两门新科学》一书中提出包涵了函数或者说变量关系的概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后的笛卡尔在其解析几何中也注意到了一个变量与另一个变量间的依赖关系。但是由于当时未意识到提炼函数的概念，故在之后的数年里函数概念并未提出。直至十八世纪初约翰·贝努利在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义，其后至近代以来又有数名学者，如欧拉、柯西、傅里叶、狄利克斯、康托等对函数进行了重新定义并逐渐深化。现如今函数在定义上有传统定义与现代定义两种。其中，传统定义是指在一个变化过程中，如果有两个变量x，y，如果给定一个x值都有唯一的一个y和他对应，那么称y是x的函数，x是自变量，y是因变量;而在现代定义中为：如果A、B是两个非空数集且x、y分别属于A、B，如果在A中任取一个x根据对应法则f在B中都有唯一的y与之对应，那么成f是B对于A的函数。函数是数学里的一个基本概念，也是数学中代数里面最重要的一个概念，函数又有各种的函数分类，在解决生活中的学术上的数学问题、物理问题等都有广泛的应用。而函数思维，即是应用函数的性质与概念，来分析、转化、解决相关的数学问题。在函数的学习中应把握函数的三要素：定义域、值域、对应法则等，在掌握函数的基础上才能更好的应用函数。

方程即含有未知数的等式，但等式不一定是方程，例如0=0，是等式但不是方程。方程表示的是两个数学式（如两个数、函数、量运算）之间相等关系的一种等式，是使等式成立的未知数值称为方程的"解"或"根"。方程的定义出现亦经历漫长的发展。方程思想指解决数学问题时，通过设元把问题从未知转化为已知，解释已知与未知之间的等量关系列，方程或方程组，然后求解，完成未知向已知的转化。而在方程的学习应用方程思维解题时，应注意列出方程的正确性、运用方程思维解题的意识与掌握方程思维解题的要点等三个重点。

二、如何应用函数与方程的联系解题

函数思想与方程思想联系十分密切，在第一部分的论述中可明白函数是在方程的基础上的进一步的深化，方程与函数在数学问题的解决中是可以相互转化的。例如.解方程f（x）=0就是求函数y=f（x）的零点即在y轴的点为零点时与x轴的交点，而在解不等式f（x）>0或f（x）<0时就是求函数y=f（x）的正负区间等等。运用函数与方程的思维联系解题可从以下几个方面着手：一方面可从函数与方程的性质着手;另一方面可在数学问题的解決中，可在充分了解问题的基础上构造函数方程关系式或构造中间函数，把研究的问题进行转化，利用函数的性质解决数学问题。

1.运用函数的性质解决方程的求值、求方程的"解"或"根"的问题。

例题1：解方程3x+5=0

分析：在这个方程的求解中，有两个方式可解方程，其一，从这个方程可以看到这个方程只是一个简单一元一次方程，所以可以简单的直接求解;其二，我们可以把它看成是求y=3x+5与x轴的交点，运用图像法求解。

2.运用函数思维解不等式。函数与不等式可互相转化，例如.函数y=f（x），当y>0时，就转化为不等式f（x）>0，当y<0时，f（x）<0，从函数的图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质问题，通常也是进行解不等式。

3.运用函数与方程思想研究数列问题，数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，所以用函数的观点处理数列问题很重要

例题2.已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是（ ）.

A.5    B.4    C.3    D.2

解析：设等差数列的首项为a1，公差为d，根据等差数列的相关性质，{an}有2k项时，S偶-S奇=kd，据题意得：C

点评：运用等差、等比数列的基本量（a1，d，q）列方程，方程组是求解数列基本问题的通法.偶数项之和减奇数项之和为5倍的公差

（a2-a1）+（a4-a3）+（a6-a5）+（a8-a7）+（a10-a9）

=（a2+a4+a6+a8+a10）-（a1+a3+a5+a7+a9）

=5d

即30-15=15=5d

d=3

结语

通过对函数与方程的联系以及在解题中的研究可知，函数与方程思想联系十分紧密，函数与方程在解题中可以相互进行转化，以达到化繁为简、化难为易的目的，更好的解决生活中的数学问题，更方便快捷的进行数学学术研究。

参考文献：

[1]李琳.函数与方程思想考题选解[J].现代教育报·思维训练，2007，3，26.

[2]徐杰.巧用函数与方程的思维联系解题[J].贵阳学院学报（自然科学版），2008.

[3]马进.浅析函数与方程的思想在解题中的应用[J].社会科学Ⅱ辑，2007，Z4.