数学思想 解题的灵魂——谈代数几何综合题的解法

广西宜州市刘三姐中学 潘怀善

综合题是相对基础而言的，所谓“综合”，主要是试题既考查较多的知识，又考查基本数学思想方法。纵观近几年各省市的中考数学题中，常将代数与几何的综合题作为对学生能力的考查题目，复习时应引起我们的重视。

《中学数学教学大纲》明确指出：要使学生逐步学会分析，综合，归纳，演绎、概括、类比等重要的思想方法。“一道几何、代数综合题，经常要现时考查多种数学思想，如转化思想、方程思想，数形结合思想，分类讨论思想等。下面以几种数学思想方法应用为线索据据探讨一些综合的解法。

一、方程思想

所谓“方程思想“就是先分析问题中的未知元素（未知量）的个数，再寻找关于这些未知量的相应个数的方程，从而用方程（组）的方法探求解题途径的思想。解题过程通常是：首先从整体上分析题意，确定未知量的个娄，其次选择一或几个未知量用x(y，z…)表示，并弄清它（它们）与其他未知量的关系，再根据题设中的条件（这类条件常常是隐含的），利用已有的知识，列出方程（组），并求解。

例1 如图，AP是△ABC的高，点D、G分别在AB、AC上，点E、F在BC上，四边形DEFG是矩形，AP=h，BC=a。

（1）设DG=X，S DEFG=Y，求Y与X的函数关系式，并指出x的取值范围。

（2）当AP=b，BC=8时请你求出面积等于9的矩形DEFG的边长DG。

（3）按题设要求得到的无数个矩形中，是否能够找到两个不同的矩形，使它的面积之和等于△ABC的面积？如果能找到，请你求出它们的边长DG；如果找不到，请说明理由。

分析：求矩形面积的函数关系式，有条件DG＝x，只要把另一边DE用含x的代数式表示即可。显然，利用相似三角形的成比例线段可建立关于DE(DE＝MP)的方程。问题（2）只要利用（1）题中的函数关系式，并把题设条件代入方程即可。问题（3）是未给出结论的探索性命题，直接方法不易求解，不妨用反证法思想，便有思路可循。

故当矩形面积为9时，边长DG=2或DG=6。

（3）假设存在两个不同的矩形面积之和等于△ABC的面积，可设边长DG为x1和x2(x1≠x2)，则

整理得2((x12-ax1+ x22-x2)+a2=0

∴找不到两个不同的矩形，使其面积之和等于的面积

说明：给出几何图形或实际问题，让代数模型，即列出函数关系式，是代数与几何综合题的常见题型。函数关系式的关键是根据几何图形中等量关系列方程，然后根据函数关系用方程法求解或证明题目中其他问题。这类问题要特别注意函数的自变量取值范围的确定。

二、数形结合思想

在研究数学问题时，有许多题目可以把数与形有机地结合起来。在解代数几何综合题时，我们应学会题目中的数与形的结合点，通过数形结合，化难为易。

三、分数讨论思想

分类讨论是一种重要的数学思想方法。我们在学习实践代数和几何时，曾多次遇到过。例如，学习了字母表示数，考虑a的正负性时，一定要讨论a=0，a=0，a＜0三种情况；遇到平面上的三个点，就要分三点共线和三点不共线两种情况等。像这样对事物各种情况分别加以讨论的思想，称为分类讨论思想。在运用分类讨论思想研究问题时，必须按照同样的标准进行分类，要做到“不重、不漏”。