“类比+对比”：让深度学习自然发生——二元一次方程概念的教学感悟

筅江苏省徐州市贾汪区英才中学 徐 倩

类比是一种常用的数学思想方法.在数学教学中，通过类比，学生可以由已有的知识与经验，猜想出即将学习的知识.然而，由于类比是一种主观的、不充分的似真推理，通过类比获得的结论仅是近似结论，想要使其有效纳入到数学的知识体系和学生认知系统中，必须对学生猜想出的结论进行对比分析，在得到新知识的同时，使学生对其有一个深度认知.本文拟结合教材中二元一次方程概念的教学历程，谈谈笔者的做法，供大家参考.

一、二元一次方程概念的教学过程

1.情境引入，梳理旧知

教师投影教材“引言问题”（略），学生分析并给出方程2x+（10-x）＝16，教师立即利用这一方程引导学生完整梳理了一元一次方程的相关知识，并板书：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程，叫作一元一次方程.

2.探索建模，类比起名

教师引导学生增设未知数，在让学生体会更简便的列方程过程的同时，得到两个与一元一次方程不同的方程：①x+y＝10，②2x+y＝16.对于这两个没有学过的方程，教师让学生应用以前的经验，类比“起名”.由于有一元一次方程的“命名”经验，学生很快给出了这两个方程的名称——二元一次方程.

3.对比完善，规范概念

在板书“二元一次方程”的名称后，教师要求学生类比一元一次方程给二元一次方程下定义.学生根据以往的经验，从未知数个数、含未知数的项的次数及是否为整式等角度类比给出了“定义”：含有两个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程，叫作二元一次方程.教师顺势将其板书在黑板上，并追问：这里，“满足未知数的次数都是1的方程一定是二元一次方程”吗？同时投影方程③xy＝10，提问：方程③和方程①②能归到一类吗？从而引导学生发现：给“一次”下定义，仅关注“未知数的次数”是不够的，还要考虑“含有未知数的各个项的次数”.从而引导学生给出二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数是1的方程，叫作二元一次方程.

4.辨析述理，巩固定义

学生活动：判断下列各式是否为二元一次方程，并说明理由.

（1）3x+2y；（2）2-x+3+5=0；（3）3x-4y=z；（4）x+xy=1；（5）x2+3x=5y；（6）7x-y=0.

学生对给出的六个式子逐一判断，并陈述理由，教师进一步明确二元一次方程的定义中的几个关键词.

二、教学过程简析

二元一次方程的概念是教材中二元一次方程组的教学重点，也是教学难点.学生已经较为系统地学习了一元一次方程的知识，积累了从定义、解、解法和应用获取方程知识的经验.对于本节课而言，一元一次方程的命名经验将是本节课探索的基础.所以，在学生探索新的方程前，教师首先让学生经历从实际问题中抽象一元一次方程的过程，然后回顾了他们所获得的一元一次方程的定义，并进行了板书，这一切为后面给二元一次方程命名夯实了基础.接下来的探索从“起名”出发，在学生类比猜想出二元一次方程的“定义”后，教师引导学生结合xy＝10重点对“一次”的定义方法进行了规范.最后，教师安排了一道练习，让学生判断给定的式子是否为二元一次方程，并说明理由，从而巩固刚刚获得的定义.整个教学过程，教师不仅注重类比方法的应用，还让学生结合实例对得到的“定义”进行规范矫正，这样的“类比+对比”，让学生的思维不断走向深入，深度学习在探索过程中自然发生，学生学习的效果自然是比较好的.

三、几点感悟

1.合理类比，推动结论自然生成

类比是一种重要的数学学习方法，它是学生在初中阶段获取新知的重要方法之一.因而，在数学教学中，我们应注重相似知识在学习路径上的类似之处，引导学生从旧知出发类比猜想获得新知的学习内容、顺序和方法，从而帮助他们较为顺利地获得新知.值得注意的是，基于旧知的类比务必合理，应与学生的认知状况和数学的发展规律相契合，不能抛开学生与数学的发展规律而盲目类比，导致知识的生长缺乏应有的基础，脱离数学，偏离学生，这样类比想要取得较好的学习效果是很困难的.在本文的案例中，一元一次方程的知识与经验是本节课展开类比学习的基础，这些知识与经验在本节课之前学生已经获得，只不过由于时间关系学生可能会遗忘.因而，教者在课上首先将学生获得的一元一次方程的知识进行了梳理，将本节课类比的障碍逐步扫清，这样的“奠基”让起名与下定义成为可能，保证了本节课的学习成效.

2.趁势对比，确保定义严谨、规范

类比，是一种好的获取新知的方法，但类比是一种似真推理，其结论有时并不准确，是无法顺利融入学生已有知识系统的.因而，在教学过程中，要通过对比的方式，让这些通过类比得出的结论进一步规范、完善，成为能够被学生认同、符合数学发展规律的定义、定理、公理等，真正为学生的学习和生活服务.以本文中的案例为例，教者从学生的固有经验出发，用类比的方式给新方程起了一个十分规范的名字，这无疑让学生觉得下定义可以参照一元一次方程进行，因而，当他们给出了“含有两个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程，叫作二元一次方程”的结论时，几乎没有学生怀疑.事实上，这个结论中对“一次”的陈述是不准确的，如果不加以规范，会让学生误解.因此，教者引入一个与给定方程不一样的新方程xy＝10，对学生的视觉形成冲击，将结论中的“未知数的次数”变成“含有未知数的项的次数”，从而形成最终的定义.

3.辨析述理，及时巩固学习成果

概念教学中，应用是较为重要的，然而在真正将其付诸应用前，我们应努力帮助学生理解概念的内涵与外延，使他们真正把握住概念的本质特征，找到概念应用的“着力点”.为此，在学生获得规范的概念后，可以设置一些简单的概念辨析题，通过对一些变式或范例的对比分析，让学生逐步厘清概念中的关键词及其含义，在真正理解概念的基础上用好概念.在本文的案例中，教师通过引导帮助学生获得了二元一次方程的准确定义，这并没有成为教学的终点，接下来所呈现出的六个式子，既有代数式，也有方程，而在给出的方程中，不仅包含了本节课的二元一次方程，还有学生已经学过的一元一次方程和后续学习的一元二次方程、二元二次方程，如此鱼龙混杂，找出二元一次方程就已不易，想要再说清理由就更难了.因而，在教学过程中，教师不得不引导学生对“二元”和“一次”两个核心词的内涵进行反复分析与解读，使他们能从“含有未知数的个数”和“含有未知数的项的次数”这两个角度来厘清二元一次方程的本质属性，真正实现让概念从理解走向应用.由此可见，用例题来加深学生对概念的理解和掌握，设置的例题不在于多，不在于难，而在于针对和即时，只要是针对概念本质的、及时的练习，不管多容易，都能起到辅助学生认知的成效.

作为一种学生获得新知的重要方法，类比一直蕴藏于我们的数学教学之中，其作用是不言而喻的.只不过，我们在教学时，要时刻关注类比生成成果与实际结论之间的差异，及时做好对比矫正，以便学生获得更为规范、严谨、适用的学习成果.而这一切，扎根于课堂的教师理应担起重任，基于类比再对比，让学生的认知在知识的辨析中不断走向深入，实现思维宽度与广度的拓展，在不自觉中实现深度学习.