高考数学创新试题的几种类型及评析*

☉四川内江师范学院数学与信息科学学院 刘成龙

☉四川内江师范学院数学与信息科学学院 胡 琳

数学是培养创新能力的重要途径.数学是研究数量关系和空间形式的学科，是思维的学科，对于培养人的思辨能力、科学精神等方面有着重要的作用，而思辨能力和科学精神正是发展学生创造力的必备要素.数学中充满了创造，整个数学史就是一部创造史，可以说，没有创造就没有数学．［1］因此，数学对于培养人的理性思维和创新能力具有巨大的作用，正如《义务教育数学课程标准（2011年版）》（下文简称《课程标准》）所说“要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面不可替代的作用.”［1］

数学教育与创新意识密切相关.《课程标准》把“创新意识”确定为数学教学的十大核心概念之一，强调“创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终.”［2］《普通高中数学课程标准（2017年版）》（下文简称《标准》）指出：“数学教育承载着培养学生创新意识的任务，要促进学生的实践能力和创新意识的发展.”［3］创新意识表现为：对新颖的信息、情境和设问，能选择有效的方法和手段分析、处理信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题.［4］

创新作为第一动力，高考命题也应体现这一导向.［5］高校要选拔具有创新潜质的人才，高考数学就必须重视对学生创新意识的考查.［5］创新成为了历年高考中新的热点和亮点.高考命题中创新体现在四个方面：试题题型创新、试题内容创新、命题理念创新和问题解答方法创新.［5］由此，高考创新型试题成为评价学生创新能力的重要题型.所谓高考创新型试题，是指从衡量考生的发展性学力和创造性学力着手突出能力考查的试题.［6］本文重点评析了近几年高考创新型试题的四大类型：立德树人型、趣味逻辑型、公式证明型、问题推广型.

一、立德树人型

立德树人，简而言之，即建立德行，为后人树立榜样，培养人才.党的十九大报告明确提出“落实立德树人根本任务.”在教育部制定的落实立德树人根本任务的配套文件《关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务的意见》中指出：“全面贯彻党的教育方针，坚持立德树人，加强社会主义核心价值体系教育，完善中华优秀传统文化教育，形成爱学习、爱劳动、爱祖国活动的有效形式和长效机制，增强学生的社会责任感、创新精神和实践能力.”［1］数学教育应该发挥“数学教学具有的德育功能”.［6］通过德育渗透，培养人，塑造人.近几年的高考命题坚持立德树人的基本导向，命制了一系列立德树人型试题，意在通过德育渗透，培养学生良好的道德品行，可谓是高考命题中的独特创新.

例1（2018年全国Ⅱ卷理科第8题）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ）.

评析：本例以哥德巴赫猜想为载体，既凸显了我国在哥德巴赫猜想研究上的领先地位，也对普及数学家陈景润积极研究世界性难题并取得了巨大成就的故事有积极的意义.同时也对育人有益：一方面，可以弘扬中华优秀文化，增强文化自信；另一方面，可以培养学生的爱国主义情怀，增强学生的社会责任感，引导学生形成正确的世界观、人生观、价值观.本例借助数学文化，增强文化浸润，体现育人导向，育人于无声无息之中.

二、趣味逻辑型

《现代汉语词典》对逻辑的解释是思维的规律.《辞海》对逻辑的解释是研究思维形式及其规律的科学.因此逻辑是创造的起点.趣味逻辑型试题是指含有有趣情境、考查学生逻辑知识的试题.趣味逻辑型试题为考生营造出一种轻松的氛围，给人的印象是推理有趣、推理好玩，推理过程中思维量较大，思维品质要求较高，但几乎不需要算，趣味逻辑型试题涉及的推理一般具有趣味性、逻辑性、思考性、挑战性和智慧性.［7］此类试题主要考查学生的阅读能力、抽象能力和推理能力：阅读提取有用信息—抽象成图表或条件推理关系—推理得到结论.解答趣味逻辑型试题的常见方法有：代入法、假设法、排除法、找突破口法、图表法等.试题所涉及的常见题型有：真假型、排序型、匹配型等.趣味逻辑型试题是高考数学命题的一种创新，既为考生紧张的状态开辟了休憩的驿站，也拓宽了考生的视野，还让考生真切地感受到逻辑就在身边，逻辑离我们的生活是那么近.

例2 （2017年全国Ⅱ卷理科第7题）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）.

A.乙可以知道四人的成绩

B.丁可以知道四人的成绩

C.乙、丁可以知道对方的成绩

D.乙、丁可以知道自己的成绩

评析：本例为趣味逻辑型试题的经典案例：以学生询问成绩为素材，展示的情景贴近生活实际，与儿时的脑筋急转弯问题有较大的相似之处，呈现出一定的趣味性和推理性，这在一定程度上使考生紧张的情绪得到放松，体现了命题者对考生的人文关怀.同时，老师和学生的对话看似平淡，实则蕴含思辨性和逻辑性，对学生的逻辑思维与推理能力等都有所考查.

三、公式证明型

公式证明型试题是指直接将教材中的公式证明设置为高考试题.该类试题是命题形式上的一大创新，旨在引导高中数学教学回归教材、重视教材.近20年以来，在2010年四川卷首次开发公式证明型试题，当然开发的过程中也经受了勇气和信心的考验.据四川命题组消息称，在2010年四川卷命制公式证明型试题时引发了命题者们的激烈争论：绝大部分命题者认为命制公式证明型试题是命题创新，值得提倡；部分命题者认为此类题型从未考过（近20年未考过），不利于高考命题的稳定，经过激烈的辩论，最后还是决定选用公式证明型试题，但略有变化的是设置为两个小问：第一问证明公式，第二问设置为公式的应用.我们揣测，这样的设置是对该题型的一种试探与尝试.实践表明，公式证明型试题是一种成功的创新型试题，值得坚持，这从2011年高考陕西卷文理科第18题考“叙述并证明余弦定理”、2012年高考陕西卷理科第18题考“三垂线定理及逆定理的证明”、2013年高考陕西卷理科第18题考“等比数列前n项和公式的推导”可以得到印证.

例3（2010年四川卷理科第19题）（Ⅰ）①证明两角和的余弦公式C（α+β）∶cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；②由C（α+β）推导两角和的正弦公式S（α+β）∶sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ.

评析：本例要求证明教材中的两角和的正余弦公式，属于命题形式上的创新.这打破了一直以来不考书上命题、公式、法则等证明的命题模式.实际上，试题本身并不难，但这一“首发效应”使得许多考生都手足无措，据阅卷场反馈的信息来看，2010年四川近50万考生仅有大概70人得了满分，这让我们深刻反思教学中对教材的忽视，无疑对死记硬背、机械模仿的学习方式敲响了警钟.对改变教学活动重心，引导教学回归教材，关注知识的形成过程、发展过程、理解与内化过程有导向作用.从教学导向这一层面可以充分看出开发公式证明型试题的价值所在.

四、问题推广型

数学推广是指在一定范围内或一定层次上对数学概念、定理、法则进行拓展，使之在更大范围或更高层次上成立，此外，也指对条件、结论进行结构分析以后，对其进行适当改变，使得到的新命题为真.［8］张景中院士指出：“推广是数学研究中极其重要的手段之一，数学自身的发展在很大程度上依赖于推广.数学家总是在已有知识的基础上，向未知的领域扩展，从实际的概念及问题推广出各式各样的新概念、新问题.”［9］问题推广型试题是指将已有问题的条件或结论推广到更一般的情形的试题.从定义上看，问题推广型试题显然是一种典型的创新型试题.创新体现在两个方面：一是在试题设置上打破了传统解答（或证明）已知问题的模式，二是推广的过程就是创新的过程.命题推广型试题有利于培养学生的问题意识，这对学生认识问题的本质有益，对培养学生完善的认知结构有利.同时也有利于学生体会数学研究的一般思路：研究特殊问题→提出一般问题→解决新问题.

例4 （2012年湖北卷理科第22题）（Ⅰ）已知函数f（x）=rx-xr+（1-r）（x>0），其中r为有理数，且0

（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数.若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2.

（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.注：当α为正有理数时，有求导公式（xα）′=αxα-1.

评析：本例第（Ⅲ）问打破了传统证明已知结论的模式，需要学生先提出猜想再进行证明，这在2012年之前的高考命题和平常的模拟训练中几乎没有涉及，是一类典型的结论开放型试题，呈现出高度的创新性.解答时，首先需要学生根据第（Ⅱ）问条件中变元的个数、非负性、和的特殊性及结论中变元的位置、运算的变化（幂的积到积的和），初步判断变元个数、变元和的值对结论的影响，进而模仿已有的结论猜想出更一般的命题，这对培养学生的观察能力和提问意识尤为重要；其次，学生需要证明猜想的正确性，在这一过程中学生往往需要将已有的特殊情形的证明方法迁移到一般的情形中，这对学生的迁移能力要求较高.总之，问题推广型试题充满了创造的成分.无独有偶，2012年福建卷理科第17题要求学生将五个特殊的三角式子推广为三角恒等式并证明.特别指出，尽管从2013年到2018年的高考命题中没有命制问题推广型试题，但是我们认为该题型必将成为未来高考命题创新的焦点.

创新型试题作为高考的一种重要题型，在人才选拔、立德树人、思维发展、教学导向等方面具有积极的作用.因此，我们相信在未来的高考命题中会开发出更多类型的创新型试题.