如何培养高中生的发散性思维和聚合性思维

☉江苏省泰兴中学 李建新

提升学生的数学水平必须着眼于学生思维水平的提升，因此，教师在数学这场思维盛宴的教学中应关注学生对数学思维方法的掌握，使学生能够在灵活运用数学思维方法的同时获得发散性思维与聚合性思维的锻炼与发展.对于教师来说，开启学生的创造之门是教师不可推卸的职责，不断提升学生的科学素养才能为民族振兴打下坚实的基础.

一、两种思维的特性

发散性思维和聚合性思维是人的思想源头逐渐分成的两大支流，这两大支流纵横交错并最终衍生出层级众多的各种思维方法.

又被称为求异、扩散思维的发散性思维是一种从不同角度进行各种设想的思想活动.又被称为求同思维、集中思维的聚合性思维是对同一事物进行各种猜想并令问题最终获得全面解决的思想活动.从这两种思维的定义不难看出，思维者在解决问题时需将用于解决问题的相关内容聚集、重组并最终获得全面的答案.这一思想运用于数学解题时同样能够起到很好的作用，教师在解题教学中，首先应引导学生进行正确的读题并将原题中有用的信息进行搜集、筛选、翻译和重组，引导学生调动头脑中已有的知识和方法对题中的信息进行对照，以及第二次筛选、翻译和重组，使题中信息与已有知识、方法得以融合并进行新的构建，这是解题思路的形成，解题思路形成过程中的信息搜集、调动和筛选正是聚合性思维在数学解题中的应用表现，也是数学教师在教学中经常运用到的“归纳”；解题思路形成过程中的翻译、重组正是发散性思维在数学解题中的应用表现，数学教师在解题教学中经常将其称为演绎或模拟.拉普拉斯曾经说过的“归纳与模拟是发现真理的主要工具”一言可以说是一语道破玄机了.

相互关联的发散性思维和聚合性思维的产生并没有先后之分，两种思维在性质上也没有高低之分，同时产生、相辅相成的两种思维并不是独立存在的，发散性思维的拓展和延伸必须要建立在聚合性思维这一基础之上，聚合性思维所特有的凝聚作用能使发散性思维更具有同一性.值得注意的是，两种思维在数学解题中的应用必须恰当且合理才能将问题更加圆满地解决.

二、培养学生发散性思维和聚合性思维的策略

很多精通数学的人在复杂、高深问题的解决上往往会从简单、浅显的方向进行思考并最终获得简单而浅显的解题方法，事实上，很多难题的解决方法都相对简洁且令人惊叹，不过思考、探索这些难题的解决过程往往是很有难度与深度的.教师在培养学生发散性思维和聚合性思维的过程中所进行的思考与设计也是值得深思的，即便其中所运用到的方案简单、平凡而琐碎，但为这一目标的实现所进行的思考与方案的设计却极具深度且用心良苦.

首先，对这两种思维的培养不可能运用强行灌输的方式，教师应有意识地在教学活动中进行这两种思维的渗透，知识的发生过程、问题的解决过程、新知识的感悟过程、旧知识的温习回顾过程等各个环节都值得有效利用.不仅如此，教师在课堂教学之余，还应重视学生课外生活中这两种思维意识的养成，让学生能够不时感受到这两种思维结合的存在及其价值.

例如，以下这道高中数学组合题就是渗透发散性思维和聚合性思维教学的一道好题.

题目某厂家仓库有液晶电视机6台、数字电视机5台，厂家决定在其中任选5台送给某养老院，要求5台电视机中至少有液晶电视机和数字电视机各2台，共有几种不同的取法？

错解：很多学生在选取液晶电视机和数字电视机的台数上进行了分类，最终得出了选2台液晶电视机和3台数字电视机、选3台液晶电视机和2台数字电视机这两种方法.这种错误是因为学生只是对完成任务的两类办法进行了理解，对每类办法中的不同取法并没有做到真正的认识与理解.

正解：根据题意的分析可知，根据第一类办法进行电视机的选取可以分成以下两个步骤进行：（1）在液晶电视机中任意选取2台有种方法；（2）在数字电视机中任意选取3台有种方法，由乘法原理可知，共有种方法.同理，根据第二类办法进行电视机的选取共有种方法.因此，要完成本次电视机的选取，一共有=350（种）方法.

笔者在此题的解题教学中始终没有进行直接讲解，为学生提供最初的解题方向后就引导学生进行自主思考，当发现学生在解题思考中的思路有所转折或断裂时及时进行了点拨，引导学生在各种不同的角度下进行新的思考并及时发现新的解法，引导学生将复杂问题进行简单化的思考和处理并变抽象为直观，使学生的思维在多角度的思考方式中获得最大限度的提升.很多学生因为思维的发散而获得了多样化的思考与解决方法，整体思想、排列组合等多种知识在解题中得到了应用与相互转化，知识和步骤的整合也将聚合思维的应用过程体现得淋漓尽致.

由此可见，思维方法的成功渗透离不开授课方式的改变，教师应将教师讲学生听的传统授课方式进行改变，并对学生的自主思考进行启发，使学生能够在解题的思考中获得更加充裕的自主思考的空间与时间，并因此获得思维的发展.当然，渗透思维养成的方式并不单一，组织学生讲数学故事、玩数学益智游戏等都是进行数学思维培养与渗透的好方法，除此以外，教师还可以有针对性地进行专门性的强化训练.比如，教师在解题教学中可以引导学生进行一题多解的思考，引导学生自己编题并进行自主解决，使学生能够在数学问题的思考与联想中获得思维意识与能力的养成.同时，教师还可以精心选择一些题干长、条件多的题目供学生练习并使学生的聚合性思维得到锻炼，不仅如此，学生聚合性思维的锻炼与养成还可以在信息的提取这一专门性的训练中实现，教师可以从题目信息的提取、课堂教学内容的归纳、题目类型的总结、解题规律的提炼等多方面对学生聚合性思维的养成进行专门性的训练.

三、培养学生发散性思维和聚合性思维的再思考

第一，教师在实际教学中始终不能忘记“工夫在诗外”的道理，一定要引导学生对思维的奥妙进行理解并充分认识到发散性思维和聚合性思维在数学学习中的重要价值，使学生养成勤于思考的习惯，并因此将这种理性思维精神内化成自己的行为方式、生活方式和生命特质，这种超越数学解题的思维将使学生受益终身.

第二，教师始终不能忘记学生的实际认知水平，并由此进行教学的设计，引导学生从数学概念、语言、解题方法等多方面对问题展开多角度的探讨，在解题思路的探究与拓展中，应尽量将学生众所周知的方法进行重点介绍，使学生能够在观察、尝试、手脑并用中对问题展开多方面的探讨并因此获得切身的感受，使学生能够在有意义的启发中展开联想并获得更加深刻的思考.

第三，教师在实际教学中始终不能忽略的还有学生的数学学习兴趣，学习兴趣的有效激发才能保障学生发散性思维和聚合性思维的更好发展，因此，教师在实际教学中应想方设法地发展学生的数学学习兴趣，根据学生原有的知识基础与认知水平进行后续学习场景的变换和设计，使学生能够在一定的认知基础上不断对新知识的学习保持良好的兴趣及情绪.不仅如此，设置悬念也是激发和保持学生数学学习兴趣的好办法，引导学生在数学学习中不断产生疑问并进行积极的思考和探索，这也是帮助学生保持数学学习兴趣的好办法.

第四，数学与语言类学科的最大区别在于不崇尚口舌之巧，因此，教师在实际教学中应不断帮助学生学会静心学习，使学生能够真正潜心于数学的学习中并因此获得深刻的思考与感悟，这对于学生的思维发展来说是极有意义的.W