变式探究在数学课堂教学中的应用性思考

☉江苏省高淳高级中学 郭明龙

变式探究是一种能够为学生终身学习奠定基础的学习方法，这种以“问题”为载体的学习方式的前提是学生的自主学习与合作讨论，以教师指导为辅助并以问题变式为主要学习手段的学习方式往往能够为学生创造出自由表述、质疑、探讨的机会，学生的问题意识将会得到进一步的激发和培养，并因此获得创新能力的发展，这是一种引导学生学会学习并掌握科学的学习方法的重要手段.笔者认为，变式探究在高中数学教学中的应用不外乎以下几点做法.

一、情境创设中提问问题

运用数学的眼光提出问题与解决问题就是数学学习的实质，因此，教师应善于设计有效的问题情境并促使学生在课堂学习中更加投入地进行探究，这种对于学生来说具备挑战性与价值性的情境设计与问题提出能够更好地提升课堂教学的效果.

例：在椭圆=1上求一点P并使其与F、F两焦12点的连线相互垂直.

这是一道看似简单实则包含着丰富内涵的题目，全国很多地区都用到了此题作为背景来进行高考试题的命制，函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想的运用以及学生解决此题的能力是此题所考查的重点内容.教师在此题的解题教学中可以首先引导学生进行作图，然后引导学生结合条件对图形进行观察并得出结论：以原点为圆心且半径为5的圆就是点P的轨迹，其轨迹和椭圆共有4个交点.教师在学生观察并获得结论之时应适时提出问题：对于任意椭圆来说，这样满足条件的点P是否都存在呢？学生进入思考状态并着手计算后会得到以下结论：这样的点P的存在性是不确定的.教师此时应继续追问：假如将点P同样视作本题的某一条件，则本题中的条件有哪几个呢？学生得出以下3个

从以上可以看出，需要学生探究的问题在有意义的情境设计中自然产生了.

二、合作交流中变式探究

作为教学内容、过程、活动组织者和参与者，教师在课堂教学中应为学生创设出科学的探究情境，使学生能够在深度适当、问题梯度合理的探究情境中积极展开思考和探索，并对学生获得的每一个探究结果都应及时的表示赞赏并作出适当的引导，使学生能够在有的放矢的引导、探究、讨论中形成师生互动、生生互动的生动场面，同时和谐生动的探究氛围也令学生的思维更加活跃.

结合上面的情境设计，事实上还可以作出更深层次的探究：若将原题中条件的位置进行互换又会产生怎样的结果呢？假如满足条件的点P确实存在，其离心率的范围可以通过计算来获得吗？

探究1：设椭圆上有一点P（3，4），F、F为椭12圆的两个焦点，则∠F1PF2的大小如何？

探究2：设点P为椭圆=1（a＞b＞0）上一点，且PF1⊥PF2，则离心率e的范围如何？

探究3：在椭圆（ ）上是否总能找到这a＞b＞0样的点能使其和两个焦点的连线相互垂直？

教师利用逆向思维提出探究问题之后就应该组织学生进行分组讨论，引导学生对解题思路进行思考和探索并进行巡回指导，根据各组探究出的解题思路及时进行点评并选出最为典型的解题思路，从而形成最后的结论.学生在这样的引导、讨论、交流和及时反馈中往往会表现出更高的热情，这也是课堂教学中最适合继续跟进提问的时机，因此，教师此时可以对学生进行再一次的引导并获得以下的探究：

探究4：已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，点P在椭圆上，假设∠F1PF2=90°，△F1PF2的面积是20，则该椭圆的方程应该是怎样的呢？

探究5：已知F1、F2为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，且∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是多少？

探究6：已知F1、F2为椭圆的两个焦点，点P

在椭圆上，且∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积是多少？

学生在层层深入的探究中收获的不仅仅是紧张且投入的思考，教师精心设计的多方位、多角度、多层次的探究活动令学生的思维获得锻炼与发展的同时，还令学生收获了探究成功的愉悦，思维品质不断攀升的挑战、刺激与成功也令学生的数学学习充满激情.

三、变式推广中不断创新

事实上，上述所阐述的探究确实是极具价值的，那么再继续进行探究是否可行呢？答案是肯定的，教师引导学生的探究至此，仍然可以将上述问题作进一步的推广并让学生利用课余时间进行更深层次的思考与研究，如下变式则是笔者的学生在一定的引导下所获得的变式拓展题：

变式1：椭圆（a＞b＞0）上有一点P，若使点P和该椭圆长轴上的两个端点A1、A2的连线相互垂直，需要满足的充要条件是怎样的呢？

变式2：已知椭圆），椭圆上一点 和a＞b＞0P该椭圆上任意一条弦的两个端点A、B的连线相互垂直，需要满足的充要条件是怎样的呢？

根据教学内容与学生实际情况精心设计问题，并引导学生带着问题走进课堂，能使学生获得愉快又适度紧张的情感体验和思维体验，在学生思考与探索的基础上进一步展开探究能使学生在新问题的引导下走出课堂，使学生在更高层次的问题引领下理解并掌握课堂教学中变式探究的出发点与归宿.

总之，课堂教学往往会因为变式探究的有效进行而变得更为开放、宽松和愉悦，师生之间的合作交流也会因为探究活动的开展而得到增强，学生在数学学习中的创新思维品质、灵活思维品质也会因此得到发展，学生的认知结构得到补充、完善的同时也会不断增强发现问题、解决问题的能力，相当一部分的学生在探究中获得的感受与领悟也会令其对数学思想方法与基本解题策略形成更好的理解与掌握.不过，值得教师注意的是，学生数学综合素养的提升不可能一蹴而就，教师在具体的教学过程中首先要帮助学生将单一的学习方式改掉，在平时的教学过程中注重变式探究的不断渗透，并因此促使学生在长期的潜移默化和积累中获得数学综合素养的提升.W