2018年全国卷Ⅰ理科压轴题命题来源研究

☉淮北师范大学数学科学学院 张 昆

一方面，高三数学教师对于某些数学高考试题渊源的玩味与深入研究，可以增进对数学知识在高考解题应用中的一系列思维活动更为深入的认识，可以帮助数学教师在数学高考复习教学中形成更好的教学技艺，提醒学生注意高考解题思维活动中某些要素（数学观念、解题模型与方法、计算途径等）的相似性，从而提高高考复习的教学针对性与有效性.这里从对比研究两道数学高考压轴题的相似性出发，期望给予正在进行高考数学解题复习施教的高三数学教师与正在应考复习的高三学生某些启示；另一方面，我们也要善意地提醒高考数学命题专家，需要其竭尽所能地命制出有价值的原创题，致使带领学生复习的高三数学教师与准备高考的考生认识到数学高考复习没有捷径可循，也没有规律可循，只有通过不断地学习与思考，增加自己分析问题与解决问题的能力，才能在高考中取得好成绩.［1］于是，我们从2009年辽宁省高考数学理科压轴题说起.

一、从分析2009年辽宁省数学高考理科压轴题说起

为了研究2018年全国高考理科数学卷Ⅰ压轴题的命题来源问题，我们首先引入并审视辽宁省2009年高考理科数学试卷的压轴题及其解法.

例1（2009年全国高考辽宁卷·理21·压轴题）已知

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）证明：若a＜5，则对任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，有

对于第（1）问的分析，由于y=lnx的定义域为（0，+∞），从而可知函数（fx）的定义域为（0，+∞），可以借助于函数的导数概念知识的内涵，求其单调性，从而解决第（1）问.因的形式特点，由于x∈（0，+∞），所以的正负性取决于其分子的正负性，而这个分子与两数差的完全平方公式相似，于是，我们可以获得一种分类标准：（ⅰ）当a-1=1，即a=2时，可知，故（fx）在（0，+∞）单调递增；（ⅱ）当a-1＜1时，由条件a＞1，故1＜a＜2，则当x∈（a-1，1）时，f′（x）＜0；当x∈（0，a-1）及x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（a-1，1）单调递减，在（0，a-1）和（1，+∞）单调递增；（ⅲ）若a-1＞1，即a＞2，同理可得f（x）在（1，a-1）单调递减，在（0，1）和（a-1，+∞）单调递增.

对于第（2）问的分析，笔者为了行文的需要，不妨记条件中的lnx为函数式①，要求证的为不等式②.

分析一：我们从结论-1出发，不妨设x＞1x2，还是采用分析法，要证明这个结论成立，希望证明要讨论这个不等式是否成立，由它的数式特点，启发我们引进与利用函数g（x）=f（x）+x，只要讨论这个函数的单调性就可以达到帮助我们解决问题的目的，由此我们认识到，可以通过设函数nx+x的形式来解决相关的问题.由于x∈（0，+∞），知g（′x）=x+a-1+1-a≥x由于1＜a＜5，所以g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）单调递增.从而当x1＞x2＞0时有g

分析二：由于所要证明的结论式②可表示为条件函数式①图像上的两点所构成的直线斜率的形式，于是，这个问题可以转化为在函数式①的定义域x∈（0，+∞）内，任意两点所连的直线的斜率都是大于-1.由于连接两点所构成的直线斜率与这个条件函数式①的图像上的某个点的切.当x2＞x1＞0时，有线的斜率相等（它符合微积分学中的拉格朗日中值定理的条件），换句话说，必定存在，使成立，且由1＜a＜5，可知正数.由上述的结果，知，因此，只要证由于1＜a＜5，这个不等式是成立的，问题得以解决.

这里讨论这道高考数学压轴题的目的在于，其一，这道高考题具有自身的特点，即它是由高等数学“拉格朗日”中值定理演化而来，由此而给教师提示了解决问题的方法；其二，为分析下面的2018年全国高考数学卷Ⅰ的压轴题的来源奠定基础.为此，我们来审视2018年全国高考数学卷Ⅰ中的压轴题.

二、2018年全国高考数学卷Ⅰ的压轴题及其解答分析

那么，2018年全国高考数学卷Ⅰ的压轴题究竟具有怎样的内容呢？为此，首先引入并审视2018年全国高考数学卷Ⅰ的压轴题，然后对此进行解答分析.

例2（2018年全国高考数学卷Ⅰ·理21·压轴题）已知函数

（1）讨论（fx）的单调性；

（2）若（fx）存在两个极值点x1，x2，证明

关于问题（1）的分析：首先，已有的解题经验提示我们，对于超越函数的单调性求解问题需要借助其导函数（此处涉及一些基本函数的导数运算，才能使问题得以解决）的性质：由函数式③中的lnx，可知函数式③的定义域为（0，+∞），对函数式③进行求导运算，知f′（x）=-

其次，在平时的解题学习与反思中我们也认识到函数的导数式⑤中含有参数，需对其进行分类讨论，讨论的依据是由于x2＞0，故要判断函数式③的单调性，只需判断⑤的分子x2-ax+1⑥的正负性即可.由于代数式⑥的结构形式类似于一个完全平方公式，如此，可以生成一种关于判断代数式⑤的正负性讨论的标准：（ⅰ）若a≤2，则f′（x）≤0，当且仅当a=2，x=1时，f′（x）=0，所以f（x）在区间（0，+∞）单调递减（.ⅱ）若a＞2，此时，令f′（x）=0，解这个方程，可得于是，我们知道，当x）时，f（′x）＜0；当x）时，f（′x）＞0.所以（fx）在区间内单调递减，在区间 （）内单调递增.到此，我们完成了问题（1）的解答.

这说明在命题时，命题专家有意识地设计了这种梯级形式的模式，第一问是一些常规的运算问题，只是为第二问提供启动思维活动的基础，下面的第二问的解答，就是在第一问的基础上展开的.

关于问题（2）的分析：由（1）所得的解答结论可知f（x）存在两个极值点的条件是当且仅当a＞2.

因为f（x）有两个极值点x1，x2，所以由极值点的涵义，可知x1，x2应该是一元二次方程x2-ax+1=0的两个实数根.故由根与系数的关系可知x1·x2=1，此时，不失一般性，可设x1＜x2，则易知x2＞1.故我们可以直接计算不等式④的左边 的 代 数 式由要求的结论不等式④，可知只需证明就达到目的了，化简这个不等式可知由不等式⑦左端的特点，使我们认识到可以回归函数式③，只不过函数式③中的x变成了不等式⑦的左端中的x2，而函数式③中的待定系数a变成了不等式⑦的左端中的2，由此提示我们可以用函数的形式来考察不等式⑦的左边，于是，设函数lnx，由（1）的结论，知g（x）在（0，+∞）单调递减.又g（1）=0，从而当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0.所以.问题已经解决.

通过仔细分析这两道题所生成的解法，我们得到的启示是：在数学解题教学中，一定要分一点关注给过程，也就是说，要探究形成数学知识的思维过程的一系列环节所萌生的历史，这段思维环节的历史就取决于数学意向展开的三个环节的交互替换过程.使数学知性发生的那种内在意识结构运动过程透视在我们面前，给我们在数学教学设计中确定教学目的与选择教学手段提供了直观的基础，从而使教师的教学设计从探索的盲目性转变为有迹可循的自觉性.［2］教师在教学准备工作中，要特别注意这种探究活动形成数学方法的过程.

三、简析2018年数学高考全国卷Ⅰ理科压轴题的来源

笔者将2009年辽宁省数学高考卷理科压轴题（下文简称“辽宁卷压轴题”）与2018年全国高考数学卷Ⅰ理科压轴题（下文简称“全国卷压轴题”）及其解答分析陈述如上，由此我们发现“全国卷压轴题”来源于2009年的“辽宁卷压轴题”.简析如下：

其一，从命题题面上的题设条件来看，“辽宁卷压轴题”利用了二次函数与对数函数组成了函数式①，而“全国卷压轴题”利用了反比例函数、正比例函数与对数函数组成了函数式③，因此，这两道压轴题在组成元素上虽有区别，但在决定问题本质的对数函数的使用上其实是一致的；所使用的参数（待定系数）都是字母a.

其二，从命题题面上要求的结论来看，两道压轴题的第（1）问都是一样的.从对于主导性条件（函数解析式）在第（2）问中所附加的条件上看，两道题的第（2）问具有不同点，“辽宁卷压轴题”是在函数式①定义域内所取的任意两个不同的点x1与x2，而“全国卷压轴题”所取的函数式③定义域内的两个点则是固定的，它们是函数式③的两个极值点x1与x2；从两道压轴题第（2）问的结论上看，这两个不等式的左边的形式完全一样，不等式的右边有所不同，“辽宁省压轴题”就是一个具体的数字-1，而“全国卷压轴题”也是一个具体的数字a-2，形式上看有一个字母a，但这个字母a却并不是变量，因此，可以说这两个要求证的结论式并没有本质的区别.

其三，从前述所分析的问题解决时使用的数学知识及其思维活动过程上来看，关于第（1）问的解答活动过程，两道压轴题的解题方法是完全一样的，由于具体使用的条件要素（函数）的形式不同、数据不同导致了解题时所采用的方法（分类标准）的不同，其实质则是完全一样的（都是使用了“完全平方公式”来揭示思路的来源）；关于第（2）问的解答活动过程，两题的异同点为：

其一，辽宁卷存在分析一与分析二两种解法，而全国卷只有这一种解法.

其二，辽宁卷分析一的解题思路都是从已知出发的，如此，由于所引入的条件的要素不同，从而决定了解题思路的方法是不一样的，“辽宁卷压轴题”采用了引入新函数式）lnx+x（可以使用分析的手段获得），并且引入了关键性的知识点“基本不等式”，进而比较简洁地解决了问题，而“全国卷压轴题”因为所给定了的条件x1与x2是两个具体的极值点的横坐标，因此，不需要像“辽宁卷压轴题”一样地引入函数，只要直接代入解析式进行计算就行了，进而得到了结论不等式⑦，不等式⑦的左端与题设中的条件函数式③具有相似性，因此，到此时可以引入函数式（其实是条件函数式③的具体化，即待定系数a取2时的函数式③），从而使问题得以解决.

其三，辽宁卷的分析二，采用的微积分中的拉格朗日中值定理，其属于高等数学知识，中学生一般没有学习并借助于这种经验解决问题，因此，从原则上说，这种方法考生在考场上是很难用得上的，而全国卷所给予的条件的两个数x1与x2是固定不变的，不是变量，因此，不可能引入函数来加以解决，就更不可能使用拉格朗日中值定理这个知识点了，而只能使用这种具体计算的方法.

总之，这两道题的题设条件与第（1）问的形式及其解题方法虽形式上有所不同，但实质上是相同的；这两道题的第（2）问形式上相同，但是实质上有着较大的区别，其区别的要素在于辽宁卷中的x1与x2是可变量，而全国卷中的x1与x2却是具体的不变量，由此决定了在解决第（2）问所使用的方法上的巨大差别.虽然如此，我们从形式上依然可以说，2018年全国卷Ⅰ的压轴题来源于2009年辽宁卷的压轴题.

四、简要结语

从这三个维度的分析中，我们发现，2018年“全国卷压轴题”与2009“辽宁卷压轴题”在题设条件、题段结论两个方面虽有具体知识特点形式上的区别，但这两道题的本质内涵基本上是一致的；两道题的差别在于，由于变动了第（2）问的附加条件，致使求解这一问的思路产生了差异.因此，我们可以得出这样的结论，2018年全国高考数学理科卷Ⅰ的压轴题的关键环节来源于2009年辽宁省高考数学理科卷压轴题.透过这种现象深入其本质，一方面，对于我们高三数学教师的复习教学来说，一定具有很好的启发性，那就是我们要研究以往的高考真题，尽可能减轻学生“题海战术”的压力；另一方面，对于高考数学命题专家来说，更需要思之再思，慎之又慎！