《等差数列的前n项和》教学设计

广西藤县第四中学 黄洁云

一、教材分析

本节内容是北师大版必修5第一章第二节“等差数列前n项和”的第一课时，主要内容是等差数列前n项和的推导过程和简单应用。本节对“等差数列前n 项和”的推导，是在学生学习了等差数列通项公式的基础上进一步研究等差数列，其学习平台是学生已掌握等差数列的性质以及高斯求和法等相关知识。对本节的研究，为以后学习数列求和提供了一种重要的思想方法——倒序相加求和法，具有承上启下的重要作用。

二、学情分析

学生基本掌握了等差数列的通项公式及性质，初步具备解决问题的能力，但是数形结合的意识和思维的深刻性还需进一步地培养和加强。

三、教学目标

1.知识上，掌握等差数列前n项和公式，能够简单运用公式解决问题；通过公式的推导，体会从特殊到一般的研究方法，认识倒序相加法。

2.过程与方法上，经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思。

3.情感上，获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。

重点是掌握等差数列前n项和公式，能够简单运用公式解决问题；

难点是等差数列前n项和公式推导过程中渗透倒序相加的思想方法。

四、教法学法

本课采用“问题——探究”的教学模式，以问题驱动，层层铺垫。

五、教学过程

教学环节 教 师 活 动学 生 活 动 活 动 说明探索公式首先认识一位伟大的数学家——高斯，然后提出问题：高斯是如何快速计算1+2+3+4+…..+100？设等差数列{an }前n项和为Sn,则学生：1+1 0 0=1 0 1，2+99=101，…..50+51=101，所以原式=50×（1+101）=5050 S a a a a n = + + + +1 2 1...n n−问题1老师：利用高斯算法如何求等差数列的前n项和公式？老师：但是否刚好配对成功呢？（1）n为偶数时：学生：将首末两项配对，第二项与倒数第二项配对，以此类推，每一对的和都相等，并且都等于a+a 1 n 。学生：不一定，需要对n取值的奇偶进行讨论。当n为偶数时刚好配对成功。高斯求和众所周知，学生能快速解答。这里用到了等差数列脚标和性质从高斯算法出发，对n进行讨论寻找求和公式思路自然，学生容易想到。对中间项a+1n 2当n为奇数时，中间的一项 落单了。a+1n 2（2）n为奇数时：的解决办法的过程中，进一步让学生体会研究数列就是对脚标数学的研究。老师：那么该如何解决落单的a+1n2呢S a a a+1 n−= + +n 1()21n n（可能部分学生在此会遇到困难，老师做适当的引导。）学生：观察a+1n 的脚标与a+a 1 n 2 2脚标的关系，即：n n n 1 1 2 2 1−1()2= + +a a n a a++ +2 2 1 2+ +==2 a a a a a n n 1 1+ ++1n na a= +n()2 2 2 1n同过对n取值的讨论，得到了前n项和求和公式：S a a= +n n ()21n

但是对n讨论麻烦了，能否有更好的方法求前n项和公式呢？接下来给出实际问题：伐木工人是如何快速计算堆放在木场的木头根数呢？问题2：如何用倒置的思想求等差数列前n项和呢？方法一：学生观察动画演示，不难发现用倒置的思想来解决此问题。（由上一问题的解决，学生容易想到倒序相加求和法。）学生：利用倒序相加求和法。倒序相加求和法是重要的数学思想，为以后数列求和的学习做好了铺垫。方法二同样利用倒序相加求和法，教材做了如下处理：将Sn中的每一项用等差数列的通项公式进行巧妙的改写，在倒序相加求和时，每一组中的d都被正负抵消了。学生类比方法一与方法二的联系与区别。在等差数列前n项和公式的推导过程中，通过问题获得知识，让学生经历“发现问题——提出问题——解决问题”的过程议练 活动例1：计算（1）1+2+3+…+n（2）1+3+5+…+(2n-1)（3）2+4+6+…+2n（4）1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n教师通过动画演示给(1),(2)问一个直观的解释。学生自己阅读教材，体会教材的解法是如何运用求和公式。观察多媒体课件演示认识公式问题3：能否给求和公式一个几何解释呢？教师提示将求和公式与梯形建立联系。学生：将求和公式与梯形面积公式建立联系，而梯形面积公式的推导也正是利用了倒置的思想。利用数形结合的思想，使学生对两个公式有直观的认识，体会数学的图形语言。学生：同样将公式2与梯形面积公式建立联系。用“割”的思想将梯形分做一个平行四边形和一个三角形，而梯形面积就是这两部分面积之和。学生讨论：公式中一共含有五个量，根据三个公式之间的联系，由方程的思想，知三可求二。