《2.2.1 等差数列》 教学设计

辽宁省抚顺德才高级中学 梁 敏

教学目标

1.知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系.

2.过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究.

3.情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识.

教学重、难点

重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系.

难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法.

教材分析 《等差数列》是人教版新课标教材《数学》必修5第二章第二节的内容。数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面,数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。

学情分析 对于高一学生已经学完前四本书情况下，知识经验已较为丰富，具备了一定的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我本节课我采用启发式、问题式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与课堂活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。

教学过程

一、探索研究

由学生观察分析并得出答案：（放PPT）

（1）在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔2个数数一次，可以得到数列：

0，2，4，6，8，10，……

（2）在某次奥运会上，女子举重项目共设置了7个级别，.其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63.

（3）一个梯子共8级，自下而上每一级的宽度（单位：cm）为：

89，83，77，71，65，59，53，47

问题1：同学们观察一下上面的这三个数列：

0，5，10，15，20 ①

48，53，58，63 ②

89，83，77，71，65，59，53，47 ③

看这些数列有什么共同特点呢？（由学生讨论、分析）

引导学生观察相邻两项间的关系，得到：

对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于2；

对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于5；

对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -6；

由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）.

二、新课新知

1.等差数列的概念

等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.

问题2：那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是多少？

问题3：等差数列定义中有哪些是比较关键的，你认为需要注意的地方？

问题4：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列数列，那么A应满足什么条件（提示学生根据定义）？

由学生回答：因为a，A，b组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：

由三个数a，A，b组成的等差数列，A叫做a与b的等差中项.

问题5：任意两个数都有等差中项吗？唯一吗？

2.等差数列的通项公式

对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？这是我们接下来要学习的内容.如果任意给了一个等差数列的首项和公差d，它的通项公式是什么呢？

引导学生根据等差数列的定义进行归纳

问题6：那么通项公式到底如何表达呢？能否把数列中的每一项都用首项a1和公差d来表示呢？

a2=a1+d

a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d

a4=a3+d=(a1+2d )+d=a1+3d

……

得出通项公式：由此我们可以猜想得出：以a1为首项，d为公差的等差数列的通项公式为：an=a1+(n−1)d 也就是说，只要我们知道了等差数列的首项a1和公差d，那么这个等差数列的通项an就可以表示出来了.

思考：除此之外，还可以用迭加法（累加法）推导等差数列的通项公式：

{an}是等差数列，所以

an−an−1=d

an−1−an−2=d

an−2−an−3=d

……

a2−a1=d

等号两边分别相加得an−a1=(n−1)d

所以an=a1+(n− )d

问题7：等号左边相加变成什么式子了，如何计算得？等号右边是多少个公差相加？（10分钟）

三、例题分析（略）

四、课堂小结

本节主要内容为：

①等差数列定义：an−an−1=d 即(n≥2)

②等差数列通项公式：an=a1+(n−1)d(n≥1)及其推导过程

教后反思

等差数列的概念学生理解的应该是不错的，但对于公式的推导中累加法的总结不好，课堂上分析的不够透彻，学生后续的理解不到位，而高中课堂中对于学生思维方式的引导又显得尤为重要，所以我认为以后在上课过程中更要注重分析和推导的过程，在这样的过程中逐渐培养学生的学习能力和思维能力。