《一次函数的图象及其性质 人教版初中数学八年级下册19.2.2.》教学案例

山西省忻州市第六中学 雷建金

教学目标：

1.会画一次函数的图象，能根据一次函数图象和表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时图象变化情况。从而理解函数的性质。

2.提高学生的思维能力、分析问题及解决问题的能力，合情推理能力及发现新知识新问题的能力。

3.培养学生学习数学的兴趣和积极性。

教学重点：一次函数的图象和性质

教学难点：探索k值的符号对图象的影响及k,b的符号决定图象的位置。

教学过程：

活动一 自主学习、深化认识

1.一次函数的一般表达式为________________。

2.请同学们写出一些一次函数的表达式？

3.你们所写出的这些一次函数可分为哪几种类型？

学生通过自主学习可归纳为四类：k＞0,b＞0; k＞0,b＜0;k＜0,b＞0; k＜0,b＜0.

教师从解析式加以指导说明，深化认识。

活动二 合作学习、踊跃展示

1.在同一坐标系中作出下列各组函数的图象

① y=x， y=x-1, y=x+1

② y=-2x, y=-2x+1, y=-2x-1

③ y=-0.5x, y=-0.5x+2, y=-0.5x-2

④ y=2x, y=2x+2, y=2x-1

要求：把上述作图题分配给8个小组完成，每个小组一题。

作图过程（略），图象如图：

2.思考下列问题

问题1.观察比较所画的三个函数的图像，有什么相同点与不同点？图象之间有怎样的位置关系？填出你观察的结果。

如图（1）这三个函数的图象形状都是____。函数y=x的图象与y轴交于点（ ），函数y=x+1的图象与y轴交于点（ ），函数y=x-1的图象与y轴交于点（ ）。由图象可以看出函数y=x+1的图象可以看作由直线y=x向___平移___个单位长度而得到，函数y=x-1的图象可以看作由直线y=x向___平移___个单位长度而得到。

同理可完成如图（2）、如图（3）、如图（4）的填空。（略）。

通过问题1的完成学生可归纳为：b的值决定一次函数图象与y轴的交点，交点为（0，b），当b＞0时，与y轴的正半轴相交，当b＜0时与y轴的负半轴相交。k的值决定直线是否平行，即直线的倾斜程度,k值相同一次函数的图象平行。K值不同一次函数图象就不平行。

问题2.比较三个函数的解析式，你能说出三个函数图象具有上述关系的理由吗？

3.联系上面的结果，考虑一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是什么形状？它与直线y=kx(k≠0)有什么位置关系？

小组合作中根据实际情况教师可指导学生如何比较解析式。

通过学生观察比较分析小组交流讨论后可归纳为：

一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以由直线y=kx平移∣b∣个单位长度得到，当b＞0时，向上平移b个单位，当b＜0时，向下平移∣b∣单位。一次函数y=kx+b（k≠0）的图象也是一条直线，我们称它为直线y=kx+b.

活动三 合作探究、发现规律

探究：一次函数y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的性质

请思考下列问题：

（1）观察我们所画的一次函数y=kx+b的图象它们的位置一样吗？

（2）位置不一样是由什么因素决定的，它们分别决定着图象的什么特征？

（3）直线的走向能否用变量x,y的值的变化来表示呢？

在活动中教师可指导学生探究的方法。

通过小组探究讨论交流可以发现规律如下：

当k＞0时，直线y=kx+b从左向右上升；当k＞0时，直线y=kx+b从左向右下降。 由此可知，一次函数y=kx+b(k,b常数，k≠0)具有如下性质：

当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。

图象位置：当k＞0b＞0时图象过1,2,3象限 当k＞0b＜0时图象过1,3,4象限

当k＜0b＞0时 图象过1,2,4象限，当k＜0b＜0时图象过2,3,4象限。

活动四 自主练习、反馈评价

（1）画出函数y=2x-3与y=-0.5x+1的图象（用多种方法）

（2）画出函数y=-2x+4的图象并指出当x增大时y如何变化。

活动五 自主小结，自我评价

本节课你的收获是什么？在学会学习方面学会了什么？

可以引导学生从知识与技能、思考与能力、情感与态度、思想与方法等方面小结。

案例设计说明：

设计的理念是把课堂还给学生，通过学生自主学习、合作学习，主动地积极地去建构知识，达到学会学习的目的。

自主学习立足于学生先想先做，根据自己的认知、体验、思维方式进行自主探索，独立思考。活动一、活动四、活动五就是自主复习、自主练习、自主小结。自主复习，旧知识得到深化；自主练习，新知识得到反馈与评价；自主小结，学生在知识、能力、思想、方法情感等方面形成本节的知识体系。

合作学习是小组中承担共同任务，且有责任分工的一种互助性学习。案例中活动二、活动三就是合作学习的，其内容是一次函数的图象和性质，这既是本节的重点也是难点，采用小组合作的方法是让学生在学习中主动交流，大胆展示，既要展示自己在学习中的经验、体会、困难及存在的问题，也要帮助组内有困难的同学解决问题，还要认真聆听同学的见解和老师的引导，最终是学好一次函数的图象和性质。学习金字塔理论告诉我们自主学习、合作学习、教他人学习是最优效的学习方法，巩固率达90%左右。

案例中一次函数的图象和性质这些新的知识,学生都经历了它的形成与发生过程，是经过作图、观察、比较、分析、猜想、填空、验证、归纳等活动来探索出来的，如一次函数的图象，表达式y=kx+b（k≠0）中常数k，b的意义，还有直线y=kx（k≠0)与直线y=kx+b(k≠0)的位置关系,一次函数的性质。这些都有助于发展学生的合情推理能力。

案例采用了开放型的设计，活动一的第二个问题，活动三的第二个问题都是开放型的问题，这对于培养学生发散思维、创新意识和精神具有很好的作用。

教学设计中，活动都是由学生来完成的，这体现了学生在学习活动中的主体地位。即主体原理。教师成了课堂教学的组织者、合作者、指导者、评价者。

案例用计算机作为辅助性教学，大大地提高了教学效率。