两个分支的Degasperis-Procesi系统的弱适定性∗

陈丽娜，关春霞, 冯兆永，刘成霞

(1. 广东工业大学应用数学学院，广东 广州 510520；2. 中山大学数学学院，广东 广州 510275；3. 南方医科大学口腔医院，广东 广州 510280)

关于Degasperis-Procesi(DP)方程的研究目前已有较多的研究成果[1-10]，本文主要研究两个分支的DP系统：

(1)

(2)

如果ρ=0，则系统(2)为文献[11]中的DP方程。DP方程具有双哈密顿函数和尖峰孤立子解,完全可积[12]，是非线性水波动力学的一个模型[13]。Escher等[14]研究了DP方程解的爆破率和弱解的整体存在唯一性。

本文运用特征线方法将DP系统化成ODE系统，首先证明该ODE系统解的存在唯一性，再证明原系统在(H1(R)∩W1,∞(R))×(L2(R)∩L∞(R))中解的存在唯一性并给出解对初值的弱连续依赖性结论。

注1 在本文中，为方便起见，H1(R)，W1,∞(R)，L2(R)，L∞(R)空间中的R均省略。

1 ODE系统解的存在唯一性

对Cauchy 问题(2)的光滑解(u,ρ)，定义x(β,t)为系统(2)的特征线，β为初值，有

(3)

对任意I>0，由常微分理论知方程(3)有唯一解x∈C1([-I,I];R)，定义

M(β,t)=

(1+ζβ(δ,t))dδ

(4)

令

N(β,t)=∂xM(β,t)=

(5)

类似地，可以求出T，U关于t求导的等式，得到如下ODE系统

(6)

其中M,N的定义见式(4)-(5)。

定义空间X=H1∩W1,∞，Y=L2∩L∞，我们证明系统(6)在空间X×X×Y×Y中存在唯一解。

为证明ODE系统的存在唯一性给出如下定义和命题:

定义1 对任意α>-1，给定Oα={ζ∈X:essinfζβ≥α}∩X，设x(β,t)=ζ(β,t)+β，其中ζ∈Oα，有xβ=1+ζβ≥1+α>0；由文献[15]知：当β∈R时映射β→x(β)是同胚的，存在可逆函数记为ψ，定义

n(·)=(ζ(·),U(·),T(·),S(·))∈

Oα×X×Y×Y；

利用变量替换和卷积公式以及式(5)-(6)可得

M(n)(β)=

(7)

(8)

系统(6)看成抽象的ODE系统

命题1 记X1=X×X×Y×Y，X2=Oα×X×Y×Y，则映射F:X2→X1是局部Lipschitz连续的。

证明首先证明F(n)∈X1，

(9)

(10)

(11)

(12)

利用式(9)-(10)得出M(n)∈Y，类似方法可得N(n)∈Y。由式(8)得：

(13)

因而N(n)β∈Y。接着证明F的局部Lipschitz连续。

M(ζ1,U,T,S)-M(ζ2,U,T,S)≤

p(x2(β)-x2(δ))·

(ζ1(β)-ζ2(β)) +

(14)

接着证明关于U,S,T的局部Lipschitz连续，利用式(7)有

(15)

结合式(14)-(15)可知

(16)

命题1得证。类似定理3.8[16]的证明过程，可推出以下定理1和命题2成立。

命题2 设n0=(ζ0,U0,S0,T0)∈BA，A>0，则

(17)

存在唯一的一个解满足U0,β=S0(1+ζ0,β)，n∈C1([-I,I];BA)，并且当I>0时有Uβ=S(1+ζβ)。

综上，ODE系统的存在唯一性证明完成。

2 证明原系统解的存在性和唯一性

接着证明方程(2)在初值z0∈X×Y时解的存在性。

定理2 给定z0=(u0,ρ0)∈X×Y，存在I1>0，对任意I∈(0,I1]，方程(2)存在解z=(u,ρ)满足

u∈C0([-I,I];H1)∩

L∞([-I,I];W1,∞)∩C1([-I,I];L2)；

ρ∈C0([-I,I];L2)∩

L∞([-I,I];L∞)∩C1([-I,I];H-1)

证明由z0∈(u0,ρ0)∈X×Y，有ζ0=0，U0=u0，S0=u0x，T0=ρ0，n0=(ζ0,U0,S0,T0)，可得z0∈BA，利用定理1得存在I1>0，I∈(0,I1]，方程(17)存在唯一解n=(ζ,U,T,S)∈C1([-I,I];BA)，ζβ>α>-1，定义x(β,t)=β+ζ(β,t)，则对任意(β,t)∈R×[-I,I]，有x(β,t)>0，所以x(·,t)的逆映射存在，记为ψ(·,t)；令

(u(x,t),ρ(x,t))=

(U(ψ(x,t),t),T(ψ(x,t),t)),

(x,t)∈R×[-I,I]

有

(U(β,t),T(β,t))=(u(ψ(x,t),t),ρ(x(β,t),t)),

(β,t)∈R×[-I,I]

同文献[16]有

∂tψ+u∂xψ=0

(18)

Lζ∈C0([-I,I];H1)∩C1([-I,I];L2)

(19)

由U∈L∞([-I,I];W1,∞)，T∈L∞([-I,I];W1,∞)以及ψ∈L∞([-I,I];W1,∞)，有u∈L∞([-I,I];W1,∞)，ρ∈L∞([-I,I];L∞)，变量t具有连续性，由于U∈C1([-I,I];X)和X⊂Y，可得Ut∈L∞([-I,I];Y)，由文献[16]中的引理2.9，2.10，2.12以及式(18)-(19)有

因为ζ∈C0([-I,I];Y)，所以u∈C0([-I,I];Y)。

利用命题2有Uβ=Sxβ，直接计算可得

ux(x,t)=Uβ(ψ(x,t),t)ψx(x,t)=

S(ψ(x,t),t)xβ(ψ(x,t),t)ψx(x,t)=S(ψ(x,t),t)

由S∈C1([-I,I];Y)，有St∈L∞([-I,I];Y)，对任何t1,t2∈[-I,I]，有

(20)

在S(·,t)∈L2以及t1∈[-I,I]条件下，ΡS(·,t1):ζ→S(ψ,t1)是Oα→L2的局部一致连续，即当t2→t1时，有

(21)

结合式(20)-(21)有∂xu∈C([-I,I];L2)，u∈C([-I,I];H1)。

因证明ρ∈C([-I,I];L2)跟证明u的正则性相似，所以省略。

利用式(18)和U∈C1([-I,I];X)，Uβψx=ux有

-Uβ(ψ(x,t),t)uψx(x,t)+

Ut(ψ(x,t),t)=Ut(ψ(x,t),t)-uux(x,t)

即

(22)

接着证明ut∈C0([-I,I];L2)，假设-I≤t1

利用u∈C0([-I,I];H1)，ρ∈C0([-I,I];L2)，有ut∈C0([-I,I];L2)。

最后证明z=(u,ρ)满足系统(2)的第二个方程：定义

(23)

(24)

则qx=ρ，Qβ=Txβ。

利用Uβ=Sxβ，xβ(ψ(x,t),t)ψx(x,t)=1得

Qt(β,t)=

(25)

(26)

则有

qt(x,t)=Qt(ψ(x,t),t)+

Qβ(ψ(x,t),t)ψt(x,t)=Qt(ψ(x,t),t)+

T(ψ(x,t),t)xβ(ψ(x,t),t)ψt(x,t)=

xβ(ψ(x,t),t)u(x,t)ψx(x,t)=

-T(ψ(x,t),t)u(x,t)+

(27)

对等式(27)两边同时关于x求导得到：

ρt+(uρ)x+uxρ=0

(28)

由u∈C0([-I,I];H1)，ρ∈C0([-I,I];L2)可得uρ∈C0([-I,I];L2)。利用式(28)类似可证ρt∈C0([-I,I];H-1)，ρ∈C1([-I,I];H-1)结合式(22)、式(28)证明z=(u,ρ)满足方程(2)。

接下来，证明方程(2)解的唯一性。

定理3 假设(u,ρ)满足

u∈C0([-I,I];H1)∩L∞([-I,I];W1,∞)∩

C1([-I,I];L2)；

ρ∈C0([-I,I];L2)∩L∞([-I,I];L2)

是系统(2)的解，其中(u0,ρ0)∈X×Y，则解(u,ρ)是唯一的。

证明利用文献[16]中(3.22)-(3.23)的相似论证有

u∈C0([-I,I];H1)∩

L∞([-I,I];W1,∞)∩C1([-I,I];L2)

显然方程

∂tζ(β,t)=u(β+ζ(β,t),t),ζ(β,0)=0

(29)

有唯一解ζ∈C1([-I,I];C0)∩L∞([-I,I];W1,∞)，对任意(β,t)∈R×[-I,I]定义：

x(β,t)=β+ζ(β,t)；

U(β,t)=u(x(β,t),t)；

S(β,t)=ux(x(β,t),t)；

利用定理3.10[16]，可得essinfxβ= essinfy>ρ> 0以及

(ζ,U,S)(·,t)∈Oρ-1×X×Y，∀t∈[-I,I]；

yt=Sy

(30)

xβ(β,t)=y(β,t)

(31)

设T(β,t)=ρ(x(β,t)t)，∀(β,t)∈R×[-I,I]，利用ζ∈Oρ-1，有T∈L∞([-I,I];Y)。

由于(u,ρ)∈C0([-I,I];H1×L2)是系统(2)的解以及ut∈C0([-I,I];L2)可得

Ut(β,t)=(uux+ut)(x(β,t),t)=

-∂xM(β,t)=-N(β,t)

(32)

∂βN(β,t)=

(33)

即得

(34)

由于式(30)-(31)，式(34)，xt=ζt=U有

(35)

接着，定义q(x,t)，Q(β,t)跟式(23)-(24)中的一样，因而有

(36)

利用Qtβ(β,t)=-ytT(β,t)，Qβ=Txβ=Ty有

(37)

结合式(29)，(32)，(35)，(37)有n=(ζ,U,S,T)满足方程(17)，利用命题2可得n=(ζ,U,S,T)∈C1([-I,I];X1)和系统(2)的解是唯一的，由于对∀t∈[-I,I]，x(·,t)同胚，所以(u,ρ)是唯一的，定理3证明完成。

接下来我们给出解对初值的弱连续依赖性结论。

其中ni=(ui,ρi)为初值u0i(i=1,2)对应的解，Ii(i=1,2)为ni的存在时间，I=minI1,I2。

注2 定理4证明方法类似于定理2的估计过程，这里证明省略。

3 结 论

综合定理1-4得出本文的主要结论：

u∈C0([-I,I];H1)∩L∞([-I,I];W1,∞)∩

C1([-I,I];L2)；

ρ∈C0([-I,I];L2)∩L∞([-I,I];L2)

且

其中常数C>0。此外，在空间(H1∩W1,∞)×(L2∩L∞)中，如果初始值z01→z02，那么存在I>0并且其对应的解z1=(u1,ρ1)，z2=(u2,ρ2)满足在空间C([-I,I];H1)∩C1([-I,I];L2)中u1→u2，在空间C([-I,I];L2)中ρ1→ρ2。