基于改进的双边滤波与非下采样剪切波变换的图像去噪*

荆 方，刘增力

（昆明理工大学 信息工程与自动化学院，云南 昆明 650500）

0 引 言

数字图像在当今社会中已经成为人们获取信息和利用信息的重要途径之一。但是，数字图像在获取、传送、储存等过程中，或多或少受到不同程度的噪声干扰。为了获得尽可能真实的图像，满足现实生活中人们对图像的视觉质量和像素质量的要求，对数字图像进行去噪处理十分必要。图像去噪也是当前数字图像处理研究领域的热点之一。

图像去噪（包括图像中高斯噪声的去除以及随机脉冲噪声的去除）的目的在于有效抑制和消除噪声，同时保持图像的边缘信息、细节信息以及良好的视觉效果，是当前图像处理领域中的研究热点之一。数字图像去噪的方法大体上可以分为变换域和空间域两类。数字图像去噪还可以称作滤波，空间域的滤波方法有均值滤波、中值滤波、低通滤波以及维纳滤波等。不过，目前还没有一种图像去噪方法适用于全部情形下的任何噪声。一般情况下，针对不同情形的含噪图像往往采用不同的去噪方法[1]。

近几年研究的去噪方法主要集中在变换域，如今运用小波分析对含噪图像进行去噪处理已经成为一个热门研究[2]。利用小波变换[3-4]对含噪图像进行处理，可以有效滤除噪声、保留图像的边缘信息以及细节信息，实现原图像的恢复。研究发现，一种“最优”的图像表示方法应该具有多分辨率性、局域性和方向性等特性[5-6]，但是小波变换是各向同性的，只能较好地恢复含有水平方向、垂直方向和对角线方向的噪声图像，而对于其他方向的图像边缘去噪效果往往不理想。

针对图像去噪中出现的各个问题，近年出现了一种新的多尺度几何分析[7]工具——剪切波变换（Shearlet Transform）[8]。传统的变换域图像去噪方法通常是基于某种多尺度变换，如超小波变换[9]、各类金字塔变换[10]等。Shearlet变换是近几年提出和逐渐成熟的超小波变换的一种，克服了传统小波变换缺乏方向表达能力的缺点，同时能采用相同的方式处理离散和连续数据。

剪切波变换由于具备良好的各向异性、多分辨率、多尺度、多方向特性以及较好的局部特性等，使其可以很好地检测和定位所有的零维奇异性（即点状奇异性），且可以稀疏地表示一维奇异性（即线状奇异性），自适应地追踪奇异曲线的方向，获取图像的最稀疏表示。

然而，Shearlet离散化过程中也采用了下采样操作，不具备平移不变性，在用于图像去噪时容易产生伪吉布斯效应，影响去噪效果。非下采样剪切波变换在剪切波离散化过程中去除了下采样过程，具有平移不变性，更适合于图像去噪过程。

含噪图像经过非下采样剪切波变换后，虽然噪声大部分都集中在高频子带，但是低频子带也含有一定的噪声。针对低频部分的噪声，提出了一种基于改进双边滤波与非下采样剪切波变换的图像去噪算法。

1 剪切波变换理论

剪切波变换（Shearlet Transform）是通过对一个基函数进行缩放、平移和剪切等仿射变换来构造具有不同特性的函数[8,11]，可以很好地表示二维甚至高维空间上曲线的特性，极大地弥补了小波变换的不足。剪切波变换最重要的特性之一是为卡通类函数提供了最优的稀疏近似。在成像科学中，卡通类函数一直被视为各向异性特征的模型。

剪切波变换本质上是复合伸缩小波变换[12]的一种特例，伸缩操作DM定义为：

其中，det表示矩阵的行列式，L表示可积空间，ψ∈L2(Rd)，GLd(R)表示实数域R上的d维可逆矩阵群。

平移操作Tt的定义为：

式（1）中，每个矩阵M可以分解为一个抛物线尺度矩阵（作为改变分辨率的矩阵）和剪切矩阵（作为改变方向的矩阵）的乘积，其中a＞0，s∈R，此时合成小波被称为剪切波。

1.1 连续剪切波变换

连续剪切波系统可以表示为：

其中，a为尺度参数，s为剪切参数，t为平移参数。

可以得到傅里叶变换：

每一个剪切波ψa,s,t在频域的支撑包含于：

则

2()L∈的连续剪切波变换可以表示为：

ψ要满足容许条件才能使连续剪切波变换等距，且存在逆变换。

如果ψ∈L2(R2)满足：

则称ψ为容许shearlet。

有了容许条件，可以推导出重建公式的充分条件，重构公式表示如下：

剪切波的频域划分情况如图1所示。从图1能够看出，在不同大小的尺度下，剪切波ψa,s,t在频域内的支撑区间是一个关于原点对称的梯形区域，方向沿着斜率为l2-j直线，梯形对的大小约为22j×2j。

由此可知，剪切波ψa,s,t是一个具备优良局部性的函数集合，且随着尺度参数a的慢慢减小，含噪图像的剪切波变换的渐进衰减性不仅可以追踪图像中的边缘位置，而且能够追踪到边缘的方向。

1.2 离散剪切波变换

将连续剪切波变换中的尺度参数a、平移参数t以及剪切参数s在适当的网格上进行采样，可以得到一个对应于Parseval紧框架的离散剪切波变换。由此，对剪切波系统中的各向异性矩阵Aa基于二进制进行采样，对剪切矩阵Sa基于整数进行采样，即：

用离散网格Z2上的点k∈Z2来取代连续平移变量2

t∈ℜ，然后根据连续剪切波的定义可以推出离散剪切波系统，即：

1.3 非下采样剪切波变换

非下采样剪切波变换[12]包括非下采样多尺度分解和方向局部化两部分[9]，其多尺度分解过程采用非下采样金字塔（Non-subsampled Pyramid，NSP）滤波器组来实现，保证非下采样剪切波变换的多尺度特性。首先，含噪图像经过K级NSP分解，可以得到一个低频分量和K个高频子带分量，大小与原图像相同。然后，对各尺度子带图像使用剪切波滤波器组进行方向分解。上述过程中没有进行下采样操作，具有平移不变性。

2 改进的双边滤波算法

2.1 双边滤波算法

双边滤波[13]是由著名学者Tomasi和Manduchi提出的一种非线性滤波算法，是结合图像的空间邻近度和像素值相似度的一种折中处理，同时考虑空域信息和灰度相似性，达到保边去噪的目的，具有简单、非迭代、局部的特点，定义为：

其中，p为像素位置，||p-q||为两个像素点间的欧几里得距离，Ip-Iq为两像素的灰度差，S(·)是表示几何邻近关系的空间滤波函数，G(·)是表示灰度相似关系的灰度滤波函数，Kp是其归一化系数。根据物理原理可知，S(·)需满足距离中心像素越近其值越大，距离中心像素越远其值越小；G(·)需满足窗口内像素与中心像素差值越小值越大，差值越大值越小。通常，选取高斯函数作为空间滤波函数和灰度滤波函数。

2.2 改进的双边滤波算法

双边滤波的连续函数定义为：

令 G(s)=cos(γs)，图像灰度级的范围为 [0，T]，满足| f (x)-f (y)|≤T，即-T≤s≤T。

由此可知，随着N的增大，余弦函数越来越接近高斯函数，如图2所示。

图2 随着N增大，余弦函数的曲线变化

图2 为随着N的增加提升余弦函数G(s)=[cos(γs)]N的曲线趋势。从外曲线到内曲线依次是N从1到5的变化，横坐标为灰度图像的动态范围。由此可以看出，随着N的增加，提升余弦函数收敛于高斯函数（逐渐归一化），且满足作为双边滤波核函数的两个必要条件[16]——非负性和单调性（衰减）。使用提升余弦函数作为灰度滤波函数进行双边滤波处理，可以获得比较理想的结果。

2.3 算法流程

（1）对于含噪图像，选择一个合适的基函数以及需要分解的层数，对含噪图像进行非下采样剪切波变换分解，得到K个高频分量和1个低频分量。

（2）针对每层分解后所得到的剪切波高频系数，选择一个合适的阈值函数对其进行处理，得到每一层处理过后的系数。

（3）采用改进的双边滤波处理分解后的低频子带。

（4）对每层处理后的高频系数和相应层的低频系数进行重构处理，得到去噪后相对干净的图像信号。

3 仿真实验及结果分析

对大小512×512为自然图像barbara进行仿真测试，加入均值为0、σ=30的高斯白噪声。用剪切波和小波分别对其进行5级分解，两种变换都采用相同的滤波参数和阈值函数，将改进的双边滤波与小波变换阈值去噪算法、改进的双边滤波与非下采样剪切波变换阈值去噪算法、双边滤波与小波变换阈值去噪算法、双边滤波与非下采样剪切波变换阈值去噪算法进行对比，结果如图3、表1所示。

图3 不同算法去噪结果

表1 不同算法去噪结果对比

如表1所示，将四种算法的去噪结果进行比较，从峰值信噪比（PSNR）和均方误差（MSE）两个方面来客观评价去噪效果。可见，改进的双边滤波与非下采样剪切波变换去噪算法的PSNR和MSE明显高于其他三种算法。

4 结 语

本文提出了一个改进的双边滤波与非下采样剪切波变换的图像去噪算法，利用非下采样剪切波变换的多尺度特性和方向特性，对含噪图像进行分解，结合硬阈值去噪算法对分解后的高频子带进行处理，然后利用改进的双边滤波算法处理低频子带。实验结果表明，本文算法具有明显的优越性，能够较好地保护图像的纹理信息和细节信息。