“概率与统计”在高考数学的定位与考查探究

张静

摘要：隨着社会的发展、“概率与统计”能力的培养越来越受到教育者的重视。本文研究了2019年高考数学对“概率与统计”的整体考查情况，发现相比前几年对“概率与统计”的考察内容差异较大，具体表现为：考查内容综合强度差异大、考查频次差异大、考查内容侧重在综合计算方面等。研究启示教师在日常教学、评价中重视“概率与统计”内容的教学，加强对“统计”知识的考查，重视现实情境的创设。    关键词：2019年高考 数学概率与统计 情境与问题 统计与概率命题

2017年版普通高中数学课程标准将数据分析素养作为高中数学六大核心素养之一，同时在文理分科的前提下，“概率与统计”部分内容的重量稍有增加。而在近两年的考查中，得分率情况越来越低。因此，对“概率与统计”教学和评价的研究需要更多研究者的关注与参与。本文以2019年高考一卷数学的第21题为例，研究高考中“概率与统计”试题的整体情况、典型试题以及对教学的启示。

一、典型试题分析2019年高考理科数学全国I卷把概率 统计问题作为压轴题，这体现了评价考试对“概率与统计”的重视正在加强。题目如下：

为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验.实验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比实验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮实验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止实验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮实验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮实验中甲药的得分记为.

（1）求的分布列;

（2）若甲药、乙药在实验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，.假设，.

（i）證明：为等比数列;

（ii）求，并根据的值解释这种实验方案的合理性.

首先这个实验的思路跟乒乓球、羽毛球的记分思路相似：以乒乓球为例，如果甲、乙二人一局乒乓球甲至少领先乙2分才能获胜，也就是说甲11：10、12：11、13：12……领先不行，得11：9、12：10、13：11、14：12……领先才算获胜。这道题题干相当于把甲至少领先乙2分换成了甲至少领先乙4分。将整个看似比较复杂的问题转化为我们常见的情境模型求解。    第一问信息比较清晰，下面分析第二问：    相比于乒乓球比赛，第二问又做了改动，具体情况如下：1.乒乓球比赛是从0：0开始记分，甲赢一个球则甲得1分，乙不扣分，乙赢一个球则乙得1分，甲不扣分;现在变成了从4：4开始记分，甲赢一个球则甲得1分，乙扣1分，乙赢一个球则乙得1分，甲扣1分;2.乒乓球比赛是甲至少领先乙2分时甲获胜，乙至少领先甲2分时乙获胜;现在变成了甲8：0领先乙时甲获胜，乙8：0领先甲时乙获胜。    当然这里还有一个问题，就是本题涉及的情况存在一个球打完了，双方都不得分的情况（甲、乙药分别治愈了一只小白鼠，或甲、乙药分别没有治愈一只小白鼠）;根据题目的规定，打一个球时，甲赢这个球的概率为c，乙赢这个球的概率为a，这个球双方都不得分的概率为b;由于这个球双方都不得分的情况无论发生多少次都对比分没有影响，因此可以视这种情况为无效实验。那么忽略所有无效实验，设在有效实验中，研究问题。第二问直接给了个P（i-1）、Pi、P（i+1）的关系式，第一小问让我们求P（i+1）-Pi和Pi-P（i-1）的关系。根据题目规定，在甲得分为i-1、i、i+1的情况下，甲获胜的概率分别为P（i-1）、Pi、P（i+1）;那么，如果甲的得分是i，那么甲获胜的情况分成两类：    1.下一个球之后甲的得分变成i+1，其概率为ρ，此后甲获胜的概率为P（i+1）;    2.下一个球之后甲的得分变成i-1，其概率为（1-ρ），此后甲获胜的概率为P（i-1）。    那么：    Pi=ρP（i+1）+（1-ρ）P（i-1）    Pi=cP（i+1）/（a+c）+aP（i-1）/（a+c）   （a+c）Pi=cP（i+1）+aP（i-1）   （1-b）Pi=cP（i+1）+aP（i-1）   Pi=aP（i-1）+bPi+cP（i+1）   即第二问给出的式子。   进一步看：   Pi=ρP（i+1）+（1-ρ）P（i-1）   Pi-ρPi=ρP（i+1）-ρPi+（1-ρ）P（i-1）   （1-ρ）Pi-（1-ρ）P（i-1）=ρP（i+1）-ρPi   （1-ρ）[Pi-P（i-1）]=ρ[P（i+1）-Pi]   [P（i+1）-Pi]/[Pi-P（i-1）]=（1-ρ）/ρ   P（i+1）-Pi为等比数列，公比是（1-ρ）/ρ，就这道题而言公比是4，第二问第一小问得证。再看第二问的第二小问，这道题告诉我们，甲药管用的概率是0.5，乙药管用的概率是0.8，那么乙药比甲药管用;而双方从4：4的比分开始比赛是公平的，而在公平的比赛中，不如乙有效的甲获胜的概率只有1/257，因此这种赛制合理。即便规则偏向于甲，比如甲带着5：3的比分开始比赛，甲获胜的概率（即P5）也只有341/21845（即4的5次幂-1为分子，4的8次幂-1为分母），约0.0156;即使甲带着7：1的比分开始比赛，甲获胜的概率（即P7）也只有5461/21845（即4的5次幂-1为分子，4的8次幂-1为分母），约0.2500，规则优势也很难救甲。换一个角度想，如果上述告诉我们甲、乙药效相同，则a=c，1-ρ=ρ=0.5，（1-ρ）/ρ=1，则[P（i+1）-Pi]/[Pi-P（i-1）]=1，P（i+1）-Pi=Pi-P（i-1），Pi为等差数列，则P1=0.125，P3=0.375，P4=0.5，P5=0.625，P7=0.875，那么规则偏向于谁谁获胜的概率就大，偏向程度越高概率离50%越远，规则不偏不倚则双方获胜的概率相当，这就是这种规则的合理性。

本题的标准答案如下：

解：（1）一轮实验中甲药的得分有三种情况：、、.

得分时是施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈，则;

得分时是施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则;

得分时是都治愈或都未治愈，则.

则的分布列为：

（2）（i）因为，，

则，，.

可得，则，

则，则，

所以為等比数列.

（ii）的首项为，那么可得：

………………

，

以上7个式子相加，得到，

则，则，

再把后面三个式子相加，得，

则.

表示“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多4只，且甲药的累计得分为4”，因为，，，则实验结果中“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多4只，且甲药的累计得分为4”这种情况的概率是非常小的，而的确非常小，说明这种实验方案是合理的.

二、对概率统计教学、评价的启示

1.重视"概率与统计"内容的教学。当今社会发展迅速，我们已经处于大数据时代，人们已经认识到，获取有价值的信息并进行定量分析的意识和能力、基于数据表达现实问题的意识、依托数据探索事物本质和规律等本领在这一背景下十分重要，并亟须加强。

 2.加强对“统计”知识的考查。分析近几年的高考试题，不管是一卷二卷还是三卷，对统计类相关内容的考察都占了一定的比重，甚至在模拟题中同样重要。教师在平时讲的时候，不要忽视对该部分内容的重视，注重各知识点的融合，将统计类知识掌握清楚。

3.重视现实情境的创设。由经济合作与发展组织（OECD）牵头实施的“国际学生评估项目”（PISA）是这样界定数学素养的：“在各種各样情境中能够自觉产生和使用数学的意识，使用数学概念、程序、事实和工具来描述、解释说理甚至预测，看到数学在社会中所起的作用，能够积极参与社会事务、运用数学理智地进行判断和决策的能力”。可见，PISA认为数学素养一定要在情境中体现出来。

学生数学素养的提升离不开情境，学生数学素养的展示往往也在情境中体现。从上边表格中可以看出，在教学中，不能脱离问题的情境，要重视情境的创设，让学生在情境中理解所学的概率与统计知识，并能灵活运用。同时，要注意情境的设计与问题紧密联系，把抽象的问题转化为我们常见的情景问题来理解分析。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学 课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018（2）.

[2]李俊.中小学概率统计教学研究[M].上海：华东师 范大学出版社，2018（9）.