从教学出发浅谈“不动点理论及其应用”

杨晶 赵娜

摘要：不动点理论是泛函分析和高等数学中的一个非常重要的理论，也是本科及研究生泛函分析教学中的一个重难点，一直得到众多学者及数学家们的广泛关注。文章将在不动点理论及不动点理论在数列、方程求解方面的应用给出对不动点理论的一些教学思考。

关键词：不动点理论;应用;教学;方程

中图分类号：G642.41     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2019）49-0196-02

不动点理论是一个历久弥新的领域，它即古老又富有创新的活力，在近现代的发展中，有关不动点理论的研究极其的快速，因此不动点理论也是日臻完善。而有关不懂点理论的很多知识都是本科及研究生课程的基本[1]是泛函分析中最重要的理论之一，它在研究数学物理方程及求解方程方面有着重要的作用。下面我们将从不动点理论及应用方面阐述我们关于教学的思考和探讨。

一、不动点理论

无论是在本科还是研究生教学中，不动点理论都是从最经典的巴拿赫不动点定理开始的，这里我们首先给出巴拿赫不动点定理，即：

定理1.1（Banach不动点定理—压缩映射原理[1，2]）设（X，d）是度量空间，T是X到X的压缩映射，则T有且只有一个不动点x ，即存在x ∈X使得 ，其中若存在常数0

在教学中我们讲解压缩映射原理时要对学生强调该定理是对度量空间而言的，从而也可以进一步强化对度量空间的理解和掌握。这里可以引导学生如果我们从度量空间到巴拿赫空间那么还会不会有不动点定理？甚至是有什么样的不动点定理？答案當然是肯定的，我们把定理1.1中的不动点定理从度量空间推广到Banach空间即有：

定理1.2（Schauder不动点定理[1]）设E是Banach空间，X是E的非空紧凸集，f：X→X是连续映射，则f在X中存在不动点。

定理1.2中对于集合E的条件是很强的，一般我们在考虑实际问题时很难找到这样的非空紧凸集，但若将映射f的条件加强为紧映射，则其定义域的条件将会不被要求是紧集，甚至也可以不被要求是闭集，这就是下述的Schauder不动点定理II，即为：

定理1.3（Schauder不动点定理[1]）设E是Banach空间，X是E中的非空凸集，f：X→X是紧的连续映射，则f在X中存在不动点。

上面的三个不动点定理都是在抽象的无限维空间上面考虑的，在教学中可能会造成学生的困惑和不易理解，这样我们就可以给出学生在高等数学中都学到过的相对比较熟悉的一种不动点定理，即当我们在一维R上讨论不动点定理时，我们有：

定理1.4[3，4] 设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续且对任意的x∈[a，b]，恒有a≤f（x）≤b，则至少存在一点

使得f 我们称x 为f（x）的不动点。

对于定理1.4中的不动点很显然存在代数和几何两方面的意义，一方面几何意义为如果函数y=f（x）和y=x存在交点 ，则 就是函数f（x）的不动点。另一方面代数意义则是如果方程f（x）=x存在实数根x ，则

以上我们给出了度量空间、巴拿赫空间、一维空间中的不动点定理，在教学中我们的学习也是从度量空间到巴拿赫空间，然后再到内积空间、希尔伯特空间。这样循序渐进地给出不动点定理也比较容易让学生理解和接受。但是在教学中只给出定理和定理的证明往往是不够的，我们还需要进一步给出不动点定理的应用以加深学生的记忆和理解。接下来，我们从学生都比较熟悉的数列和积分方程方面给出不动点定理的应用。

二、不动点理论的应用

我们知道数列是本科教学中最新接触的知识，所以这里我们首先给出不动点定理在数列方面的应用比较容易让学生理解和接受。首先根据不动点定理1.1（压缩映射原理）可以得到以下有关数列收敛的结论：

引理2.1[5] 对任意的数列 ，若存在常数α：0<α<1，使得对一切n∈N，有 ，则 收敛。

对于引理2.1我们可以引导学生发现如果可以得到  这个递推公式且f（x）可导，那么我们就可以利用f（x）的导数f'（x）来检验 的收敛性。即如果存在常数α：0<α<1，使得f'（x）≤α<1，则利用微分中值定理，可以得到 满足

从而我们可以得到 收敛。

接下来我们可以和学生一起来回顾一下最开始在学习数列时的一道题目，这样不仅可以让学生们巩固一下之前的知识而且还可以加深对不动点定理的理解。

在本科我们最开始学习数列极限的知识时，我们是通过极限的存在法则（单调有界的数列必收敛）来求解这道题目的，这样我们就需要验证数列{x■}同时具有单调和有界性，但在这里我们利用不动点定理只需要构造一个函数然后对函数进行求导就可以解决我们的问题了，这也就一定程度是反映了不动点定理应用的广泛和方便。例题2.2是不动点定理在本科教学中有关于数列方面的应用，下面我们给出不动点定理在研究生教学中有关积分方程求解方面的应用。

总之，不动点定理是本科及研究生教学中的重要组成部分，学生对于定理的认识不是直线发展的，而是螺旋式前进的。因此，教师传授定理的过程也不应是一次性完成的，而是尽量在教学过程中引入能够帮助学生理解的感性材料，降低学习的难点，激发学生学习的主动性，同时有意识地引导学生对所学知识及时分类整理，回首返顾，了解不同不动点定理之间的关系，以达到对所学的知识能够形成一个有机的整体，进而能够灵活运用从而去分析问题和解决问题。

参考文献：

[1]张恭庆，郭懋正.《泛函分析讲义》上册[M].北京大学出版社，1987.

[2]刘炳初.泛函分析[M].科学出版社，2016.

[3]龚德恩，范培华.微积分[M].高等教育出版社，2012.

[4]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社，2006.

[5]冯艳青.数学分析的不动点问题[J].青海师范大学学报（自然科学版），2001.