完全保持Jordan零积的映射

张 瑜, 黄 丽, 赵红利

(太原科技大学应用科学学院,太原 030024)

B(H)表示Hilbert空间H上所有有界线性算子的全体.如果A是包含恒等算子的B(H)的C*-子代数且具有前对偶，即存在一个Banach空间使其对偶空间为A，则称A是von Neumann代数。集合Z(A)={S∈A|ST=TS,∀T∈A}叫做A的中心.若Z(A)只包含数量算子，即满足Z(A)=I，则称A是因子von Neumann代数。

von Neumann代数作为性质最好的代数，近些年吸引了越来越多学者的注意.而因子von Neumann代数作为特殊的von Neumann代数，也备受关注。于是，对因子von Neumann代数上相关保持问题的研究也成为了保持问题的发展趋势.2009年，崔建莲、李长京[7]刻画了因子von Neumann 代数上保持斜Lie积的非线性双射.2013年，李长京、陆芳言[1]两位学者证明了因子von Neumann代数上的非线性双射Φ:A→B满足Φ(AB+BA*)=Φ(A)Φ(B)+Φ(B)Φ(A*)当且仅当Φ是*-环同构。特别地，若von Neumann代数是I型因子，则Φ是酉同构或者共轭酉同构。次年，戴丽清[2]等将上述结论推广到了没有中心可交换投影的von Neumann代数上，并证明了满足Φ(AB+ηBA*)=Φ(A)Φ(B)+ηΦ(B)Φ(A)*的非线性双射Φ要么是线性*同构(η不是实数)；要么是线性*同构与共轭线性*同构的和(η是实数)。

完全保持问题：定义映射Φn:A⊗Mn(F)→B⊗Mn(F)为Φn((Sij)n×n)=(Φ(Sij))n×n,∀n∈N.若Φn保持Jordan 零积，则称Φ是n-保Jordan 零积的；若对于每个n∈N，Φ都是n-保Jordan 零积的，则称Φ是完全保Jordan 零积的。

完全保持问题对代数结构有很强的约束性，能更确切地反映同态映射的本质.但是，通过查找文献，这方面的结果还比较少(Banach空间的标准算子代数上：完全保幂等性和平方零元、可逆性和谱、谱函数、交换性和Jordan零积、零因子分别参见文献[3-6、10]；有限von Neumann代数上：完全保迹秩的映射参见文献[9]；无限维复Hilbert空间的*-标准算子代数上：完全保斜Lie零积的映射参见文献[13])，需进一步拓展.鉴于此，本文将在完全保持的框架下讨论Jordan 零积，并证明因子von Neumann代数上这样的满射是线性同构或共轭线性同构的非零常数倍。

1 主要结果及定理证明

定理令H,K是￡上无限维Hilbert空间，A,B分别是H和K上的因子von Neumann代数。Φ:A→B是一个满射.则下列叙述等价：

(1)Φ双边完全保Jordan零积；

(2)Φ双边2-保Jordan零积；

(3)Φ是线性同构或共轭线性同构的非零常数倍。

证明满足叙述(3)的映射是双边完全保Jordan零积的，从而(3)⟹(1)⟹(2)是显然的。我们只需证明(2)⟹(3).下面我们假设Φ是双边2-保Jordan零积的。

断言1Φ(0)=0,Φ(I)=cI对某一非零数c成立。

对于∀T∈A,

将Φ2应用于上述等式，可以得到

因此，Φ(0)2=0.

(1)

3Φ(0)2+Φ(0)Φ(T)=0.

(2)

由Φ的满射性知，存在某个T0∈A, 使得Φ(T0)=iI. 在(2)式中令T=T0,则3Φ(0)2+iΦ(0)=0. 结 合 (1)式有Φ(0)=0.

下证Φ(I)=cI，对某一非零数c成立。

对于∀T∈A, 一方面

Φ(I)Φ(T)+Φ(I)Φ(-T)=0.

(3)

另一方面

Φ(T)Φ(I)+Φ(I)Φ(-T)=0.

(4)

由(3)和(4)可得：Φ(I)Φ(T)=Φ(T)Φ(I)⟹Φ(I)∈Z(B). 因为B是因子von Neumann代数，所以Φ(I)=cI, 对于任意非零数c都成立。

如果有必要，用c-1Φ来替换Φ. 显然c-1Φ仍然是双边2-保Jordan零积的，故可以假设

Φ(I)=I.

断言2Φ是单射且Φ(-T)=-Φ(T),∀T∈A.

对于∀T,S∈A, 假 设Φ(T)=Φ(S), 则

用Φ(S)代替Φ(T), 得

此蕴涵T=S.于 是Φ是单射，从而是A到B上的双射。

由(4)和Φ(I)=I可得Φ(-T)=-Φ(T) ，即Φ(-T)=-Φ(T).

(5)

断言3Φ保可加性，即Φ(T+S)=Φ(T)+Φ(S).

对于∀T,S∈A，

将Φ2应用于上述等式，结 合 (5)式可得Φ(T+S)+Φ(S-T)=2Φ(S).

(6)

又

将Φ2应用于上述等式，结 合 (5)式可得Φ(T+S)+Φ(T-S)=2Φ(T).

(7)

由(5)、(6)、(7)联立得到Φ(T+S)=Φ(T)+Φ(S).

断言4Φ保可乘性，即Φ(TS)=Φ(T)Φ(S).

对于∀T,S∈A，

Φ(TS)=Φ(T)Φ(S).

断言5Φ(iI)∈Z(B).

对于∀T∈A，

将Φ2应用于上述等式，从而有Φ(iI)Φ(T)=Φ(T)Φ(iI)⟹Φ(iI)∈Z(B).

断言6Φ具有线性或共轭线性。

将Φ2应用于上述等式，从而有Φ(iI)2=-I. 根据断言5知Φ(iI)∈Z(B)，因此可令Φ(iI)=μI.则(μI)2=-I⟹μ=±i.于是，Φ(iI)=iI或Φ(iI)=-iI.

若α是实数，则Φ(αI)=αI.那么Φ(αA)=Φ(αI·A)=Φ(αI)·Φ(A)=αΦ(A).

若α是复数，令α=a+bi，则Φ(αI)=Φ((a+bi)·I)=Φ(aI)+Φ(b·iI).

根据断言6得到Φ(b·iI)=bΦ(iI)=bI或Φ(b·iI)=bΦ(iI)=-bI.

因此Φ(αI)=Φ(aI)+Φ(b·iI)=aI+b·iI=(a+bi)I=αI