N—遍历敏感依赖性在拓扑共轭下的保持

杨忠选

摘 要：本文引进了N-遍历敏感依赖性这个新概念，并证明了已知f和g拓扑共轭，若g是N-遍历敏感依赖的，则f是N-遍历敏感依赖的。

关键词：N-遍历敏感依赖性；拓扑共轭

1引言与预备知识

在2002年，熊金城教授引进了[N-]敏感依赖性这个新概念，并对拓扑传递系统中的[N-]敏感依赖性做了系统的研究。本文在此基础上，引进[N-]遍历敏感依赖性这一新概念，并得到以下结论：已知[f]和[g]拓扑共轭，若[g]是[N-]遍历敏感依赖的，则[f]是[N-]遍历敏感依赖的。

2预备知识

在介绍主要结论之前，先介绍一些基本概念，设（X，[f]）是一个紧致系统。即（X，d）是一个紧致度量空间，[f]∶X→X连续。

定义1给定整数N≥2，设U是一个非空开集，[n，N∈Z+，x1，x2，…，xN∈U]。

为了方便起见，记

[AU，xN，n=mindfnxi，fnxj∶1≤i，j≤N]

且[Sf-NU，λ=n∈Z+∶?y1，y2，…，yN∈U，有A（U，yN，n）≥λ]

[f]是[N-]遍历敏感依赖的，如果存在[λ>0]，对于任意非空开集[U?X]，都有[Sf-NU，λ]具有正上密度，此时，[λ]称为系统（[X]，[f]）的一个[N-]遍历敏感系数。

定义2设（[X]，[f]）和（[Y]，[g]）是两个紧致系统，如果存在同胚映射[h]∶X→Y，使得[h?f=g?h]，则称（[X]，[f]）和（[Y]，[g]）拓扑共轭。

3结论

定理1设（[X]，[f]）和（[Y]，[g]）是两个紧致系统，[d]和[d']分别是[X]和[Y]上的度量，[f]和[g]拓扑共轭，如果[g]是[N-]遍历敏感依赖的，则[f]是[N-]遍历敏感依赖的。

证明：由于[f]和[g]是拓扑共轭，则存在同胚映射[h]∶X→Y，使得[h?f=g?h]。因为[g]是[N-]遍历敏感依赖的，设[ε]是[g]的一个[N-]遍历敏感系数，由于[h]是同胚映射，所以存在[δ>0]，使得当[d'hx，hy>ε，x，y∈X]，有[d（x，y）>δ]。

設[U?X]是一个非空开集，因为[h]是同胚映射，则[h（U）]是Y中的一个开集，由于[g]是[N-]遍历敏感依赖的，则存在[y1，y2，…，yN∈h（U）]和[k∈Z+]，使得[Sg-Nh（U），ε]具有正上密度，取[?k∈Sg-Nh（U），ε]，有

[mind'（gk（yi），gk（yj））∶i，j∈1，2，…，N，i≠j>ε]。

取[xi∈U]，使得[h（xi）=yi，i=1，2，…，N]，于是对任意的[i，j∈1，2，…，N]有

[d'（gk（yi），gk（yj））=d'（gk（h（xi）），gk（h（xj）））]

[=d'（h（fk（xi）），h（fk（xj）））]。

所以

[mind（fk（xi），fk（xj）∶i，j∈1，2，…，N，i≠j>δ]。

根据[k]的选择性，知[Sf-N（U，δ）]具有正上密度，即[f]是[N-]遍历敏感依赖的。

参考文献：

[1]熊金城.拓扑传递系统中的混沌[J].中国科学（A辑），2005，35（3）：302-311.

[2]尹建东，周作领.拟弱几乎周期点的等价定义与系统的混沌性[J].系统科学与数学，2010，30（8）：1156-1162.endprint