意义建模：让数学教学焕发“模”力

茅婷婷

[摘要]模型建构关键在于让学生体验建模的过程。“生活世界”是意义建模的牢固根基，“抽象概括”是意义建模的有效提炼，“意义赋予”是意义建模的灵动运用。在数学意义建模过程中，学生能触摸到数学的“模”力与魔力。通过数学建模，教师可以不断地提升学生的数学学习能力，发展学生的数学核心素养。

[关键词]小学数学;意义建模;模型建构

[中图分类号]

G623.5

[文献标识码]A

[文章编号] 1007-9068（ 2019）35-0091-02

学生数学学习的过程，说到底就是“数学化”的过程。所谓“数学化”，就是让学生经历从生活到数学的模型建构。模型建构，关键在于让学生体验建模的过程。模型建构有助于学生发现数学知识、建构数学知识、创新数学知识。意义建模，就是要让学生用数学的眼光打量生活，用数学的大脑考量世界，用数学的方式解决问题。在数学教学中，意义建模既是一种方法，也是一种思想。

一、生活世界：意义建模的牢固根基

“数学化”过程包括“横向数学化”和“纵向数学化”。所谓“横向数学化”，就是将学生从生活世界引向数学符号世界。胡塞尔语：“所谓生活世界，就是学生置身其中的、预先给予的、活生生的世界。”因此，生活世界是学生意义建模的根基，是意义建模的起点，也是意义建模的归宿。因此，在数学教学中，教师要主动链接学生的生活世界，激发学生的建模兴趣，让学生积极、主动地建模。

例如，在教学“间隔排列”时，教材提供了这样的生活情境图：兔子木桩图、夹子手帕图、篱笆木桩图，让学生直观感受间隔排列，建立“两端物体”和“中间物体”的概念。有了初步的生活化的情境感知，教师还可以让学生举出生活里间隔排列的例子。借助举例，引导学生认识间隔排列的特征，即中间物体比两端物体少1，或两端物体比中间物体多1。通过生活中的间隔排列事物的列举，引导学生思考：为什么兩端物体比中间物体多1，或者为什么中间物体比两端物体少1 ？从而激发学生的数学思考，将学生从生活世界导向数学世界，促发学生感悟：在间隔排列中，两种事物之间是一一对应的关系。一组组地圈画，学生就能发现，两端物体和中间物体在前面都是成对出现的，最后多了一个两端物体，所以两端物体比中间物体多1。在生活化情境中，学生根据生活原型，尝试对间隔排列现象进行描述。通过生活化的表达，学生能找到间隔排列的数学规律，领悟到间隔排列的本质，形成了“一一对应”的思想。这样的教学，为学生进一步学习“周期现象”奠定了坚实的基础。

小学数学是质性数学，与学生的生活世界有着千丝万缕的联系，离开了生活世界的数学学习，无疑是无源之水、无本之木。将数学与学生的生活世界链接，学生的生活世界能自行解蔽、敞亮。在生活世界中，学生不仅建立了丰富的数学知识表象，更激活了数学思维。

二、抽象概括：意义建模的有效提炼

如上所述，学生的“数学化”过程不仅包括“横向数学化”，也包括“纵向数学化”。所谓“纵向数学化”，就是在数学的符号世界里进行塑模、提炼与概括。数学教学不是解决某个具体问题，而是解决一类问题，是通过一个具有普适性意义的模型解决一类问题。比如“一笔画”问题解决了著名的“七桥问题”，就彰显了模型的力量。在数学中，模型具有较强的解释力，是对数学问题的抽象化、简约化、本质化的描述。

以小学数学最为重要的数量关系的模型建构为例，从众多的、形式不同的相遇问题中概括出“速度和×相遇时间=路程和”;从众多的、形式不同的追及问题中概括出“速度差×追及时间=路程差”，进而提炼出“速度×时间=路程”;从众多买东西的事例中提炼出“单价×数量=总价”;从众多的工程问题中提炼出“工效×工时=工作总量”等。当我们将这么多数量关系概括起来进行整体观照时，不难发现这些数量关系可以建构一个更具普适意义的数学模型：每份数×份数=总数。应该说，这样的数学模型超越了个别的数量关系，具有更高的统摄性、包容性，是一种更为上位、更具统驭意义的关系。再比如，从长方形、正方体、圆柱体的体积公式中建构具有统一意义和价值的“V=Sh”的直柱体的体积公式模型;从整数加减法、小数加减法、分数加减法的计算法则中提炼出“只有计数单位相同才能直接相加减”等，也是一种数学模型。因此，从根本上说，学生数学学习的过程就是抽象、推理和建模的过程。在数学教学中，教师要有数学模型建构的意识。只有将个别化、孤立的数量关系、数学公式、计算法则等提炼成数学模型，才能让学生感受到数学知识的内在统一。

提炼、概括、建构数学模型，能让学生触摸到数学知识的本质。在这个过程中，教师要引导学生感知生活原型，经历数学建模的过程，感受数学模型的意义和价值。教师要丰富建模内容，激发学生建模的兴趣，指导学生建模的方法，展示学生的建模过程，只有这样，学生在数学建模中才能体会到数学思想，积累丰富的数学活动经验。

三、意义赋予：意义建模的灵动运用

意义建模只有回归实践才有意义。从数学到生活、从理论到实践，就是学生对数学模型进行意义赋予的过程。对数学模型进行意义赋予的过程更能彰显学生的数学思维、催生学生无限的数学想象。数学教学从某种意义上看，就是引导学生在“数学化”与意义赋予之间来回穿行。

值得注意的是，学生对数学模型的意义赋予，有时是不成熟的，甚至是错误的。教师要呵护学生的意义赋予，鼓励学生的意义赋予，不能绝对地对学生的意义赋予进行批评指责，应抓住学生意义赋予的可取之处，调动学生的积极性。例如，教学“用数对确定位置”后，学生建立数对的模型——（x，y）。笔者让学生列举生活中的一些用数对确定位置的事例。一位学生用儿童化、故事化的讲述方式讲述了一则童话故事：小鸭子从家出发，先向东走了5步，又向西走了7步，小鸭子的位置在哪里？小鸭子向南走了3步，又向北走了8步，小鸭子现在的位置在哪里？学生的故事让数对知识生动了起来。那么，以什么位置作为小鸭子的原始位置呢？学生经过讨论，认为应该以小鸭子最开始所在的位置作为原点。那么，问题又来了，小鸭先向东走了5步，又向西走了7步，也就是说小鸭到了原点的左边。如果以向右作为正方向的话，那么向左就是负方向了。这里，将数轴从正方向拓展延伸到负方向，让用数对确定位置从正数拓展到负数，让直角坐标系由原来的两个象限拓展到四个象限。学生故事化的意义赋予，让小学的用数对确定位置与初中的直角坐标系的内容连接了起来。这不仅让学生认识到了数对的本质，更活化了学生的数学认知，突破了数学学习的瓶颈。

当教师引导学生进行意义赋予时，就必须充分调动学生学习的积极性、能动性。意义赋予的过程能展现学生的思维，让教师把握学生数学学习的样态。在数学教学中，教师还可以引导学生对数学模型进行评价。只有当学生能够进行“模型化”思考，具备了“模型化”的数学眼光、思考方式时，意义建模才能彰显应有的魅力。

教师要善于发掘数学知识中的模型因子，丰富建模内容和形式，启迪学生的建模方法，如让学生在生活中建模、在有效迁移中建模等等。在学生建模过程中，教师要适当穿插一些模型背景，只有这样，学生才能明晰模型的意义，科学地进行数学模型的意义赋予，真正提升数学学习能力，发展数学核心素养。

（责编黄露）