错因“连连看” 归正“消消乐”

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本文梳理了“整式乘法与因式分解”中几种常见的错误，并对错题进行了归类剖析，希望同学们尽可能地避免犯类似错误，及早走出误区。

一、整式乘法中的常见错误

1.符号易出错。

例1 计算：（-3x）·（8x2-7xy-1）。

【错解】原式=-24x3-21x2y-3x。

【错因分析】符号错误是运算类问题中较常见的错误之一。本题就错在没有注意积中各项符号的确定。整式运算中，我们要连同符号一起乘，先定每一项的符号，再考虑数和字母部分。

【正解】原式=-24x3+21x2y+3x。

2.相乘易漏项。

例2 计算：（1）（-3x）·（8x2-7xy-1）；（2）（2x-5）（x+4）。

【错解】（1）原式=-24x3+21x2y；

（2）原式=2x2-20。

【错因分析】本题出错是因为没有掌握乘法法则，出现了漏乘现象。单项式与多项式相乘时，要用单项式分别乘多项式的每一项，尤其不要漏乘常数项。多项式与多项式相乘也要防止漏乘，检查的方法是在没有合并同类项前，积的项数应等于两个多项式项数的积。

【正解】（1）原式=-24x3+21x2y+3x；（2）原式=2x2+8x-5x-20=2x2+3x-20。

3.公式易混淆。

例3 计算：（a-2b）2。

【错解1】原式=a2-4b2。

【错解2】原式=a2-2·a·2b+2b2=a2-4ab+2b2。

【错因分析】同学们在刚接触乘法公式时，常常会对公式理解不够透彻。错解1就是混淆了两个公式。符合完全平方公式的两个多项式相乘，则有“首平方，尾平方，首末两倍中间放”，展开由三部分组成。另外，在完全平方公式中，容易出现的错误有三种情况：一是首尾两项的系数没有平方，二是中间项没有乘2，三是中间项的正负号弄错。

【正解】原式=a2-2·a·2b+（2b）2=a2-4ab+4b2。

例4 计算：（1）（-3a+2b）2；（2）（-3a-2b）2。

【错解】（1）原式=-（3a-2b）2=-［（2b）2-2·2b·3a+（3a）2］=-4b2+12ab-9a2。

【错因分析】当首项带负号时，则可以进行适当变形，可以运用交换律等调整因式或因式中各项的排列顺序，使公式的特征更加明显。

【正解】（1）原式=（2b-3a）2=（2b）2-2·2b·3a+（3a）2=4b2-12ab+9a2；

（2）原式=［-（3a+2b）］2=（3a+2b）2=9a2+12ab+4b2。

例5 计算：（-3a-2b）（3a-2b）。

【错解】原式=（3a）2-（2b）2=9a2-4b2。

【错因分析】能用平方差公式的两个多项式的特征就是其中一项完全相同，另外一项仅符号相反，那么结果就是相同项的平方减去相反项的平方。可以用标记号的方式确定相同项与相反项。

【正解】（-3a-2b）（3a-2b）=（-2b）2-（3a）2=4b2-9a2。

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二、因式分解中的常见错误

1.概念不清。

例6 因式分解：a2+3a-4。

【错解】原式=a（a+3）-4。

【错因分析】对因式分解的概念理解不到位。因式分解是将一个多项式写成几个整式的积的形式，故等号右边应该是“积”。再比如左到右，虽然是“积”的形式，却不是整式的乘积形式，仍不属于因式分解。

【正解】原式=（a-1）（a+4）。

2.提取有误。

例7 因式分解：3a2-6ab+3a。

【错解】原式=3a（a-2b）。

【错因分析】在提公因式时，同学们容易犯如下几类错误：（1）有而不提，比如36x2-4=（6x+2）（6x-2），出错的原因就在于一开始没有提取公因式；（2）提而不尽，即不能找全公因式；（3）提后丢项。此例就犯了第三类错误，第三项3a与公因式一致，可看成3a·1，故提取公因式后该项剩下1。

【正解】原式=3a（a-2b+1）。

3.无中生有。例8 因式分解

【错解】原式=x2+2xy+y2=（x+y）2。

【错因分析】多项式中的系数是分数，而变形后的系数变为了整数。若用整式乘法检验，就不难发现错误了。去分母是在等式中进行的，而不能硬搬到代数式中。

【正解】原式=

4.公式出错。

例9 分解因式：（1）9x2-4y2；（2）（a2+1）2-4a2。

【错解】（1）原式=（9x+4y）（9x-4y）；

（2）原式=（a2+1）2-（2a）2=（a2+1+2a）（a2+1-2a）。

【错因分析】第（1）题错在用平方差公式因式分解时，只注意到字母式子平方而忽视了系数。建议同学们初学时，先写成平方差的形式，再分解因式。第（2）题分解不彻底，最后两个括号里的三项式仍然能用完全平方公式进一步分解。

【正解】（1）原式=（3x）2-（2y）2=（3x+2y）（3x-2y）；

（2）原式=（a2+1）2-（2a）2=（a2+1+2a）（a2+1-2a）=（a+1）2（a-1）2。

【友情提醒】同学们在分解因式时，牢牢记住三个步骤：“一提”，有公因式时先提公因式，务必要把公因式提尽，不要漏项；“二看”，看项数，若是两项，先联想平方差公式，看能不能构造成“（ ）2-（ ）2”的形式，若是三项，先联想完全平方公式，判断是否存在两个符号一致的平方项及两数积的两倍，有时还要联想到十字相乘法；“三查”，最后要检查有没有分解彻底，即分解到不能分解为止。

三、整式乘法和因式分解混合错误

例10 化简：（x+y）（x-y）+y（x+2y）-y2。

【错解】原式=x2-y2+xy+2y2-y2=x2+xy=x（xy）。

【错因分析】最后一步将结果进行了因式分解，从而导致没有完全化简。在学完了整式乘法和因式分解两部分内容后，同学们常常会对这两种运算产生混淆。注意化简指的仅仅是整式乘法，而不包括因式分解。

【正解】原式=x2-y2+xy+2y2-y2=x2+xy。

总之，同学们在学习的过程中出现错误并不可怕，关键要分析出错的原因。希望同学们在今后的解题中发现“易错点”，在纠错中去总结经验。