“割补”术在数学例题教学中的应用

浙江省乐清市智仁乡中学 黄瑞华

所谓例题的“割补”教学，是指教师在充分理解和尊重教材的前提下，运用个人智慧，创造性地对课文例题的教学内容、方式、成果等进行大胆增减、调整和加工，从而更好地适应学生的实际需求和特定的教育情境。它既以教材为依托，基于教材，又超越教材。

一、“丰盈”教材，增强内涵，注重过程与方法，提高学生思考能力——补法：拓展渠道，重视过程

教学的核心任务是引导、促进学习者的学习活动，而课本例题是有效的教学载体，作为教师，要深挖例题的潜在功能，多渠道拓展方法，要充分关注学生的学习过程，展现多样化的思维品质。现举浙教版八下《一元二次方程的应用（1）》中例1 来进行简单阐述。

例1 某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现每盆的盈利与每盆的株树构成一定的关系。每盆植入3 株时，平均单株盈利3 元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1 株，平均单株盈利就减少0.5 元。要使每盆的盈利达到10 元，每盆应该栽多少株？

师：本题涉及哪些量？这些量之间又存在着怎样的数量关系？

生1：主要数量有每盆株数、平均单株盈利、每盆盈利。主要数量关系有：平均单株盈利×株数=每盆盈利；平均单株盈利=3-0.5×每盆增加的株数。

师：很好！那这个问题如何去解决呢？（沉默了一段时间，没人举手。师及时干预启发）

师：那假设每盆增加2 株，谁能求出每盆盈利？

生2：答案是10 元。因为每盆增加2 株，每盆株数就是（3+2）株，由于每盆每增加1 株，平均单株盈利就减少0.5 元，所以增加后平均单株盈利就是（3-2×0.5）元，所以每盆盈利就是（3+2）×（3-2×0.5）=10 元。

生3：由刚才这位同学的思路，我想到了方法：若设每盆增加x 株，我就可以列出如下方程：（3+x）（3-0.5x）=10。

我及时表扬了两位同学，并指出在解决一个有难度的问题时，我们不妨运用从数到字母、从特殊到一般的思想方法去获得解题思路，从而进行有效迁移。

师：刚才我们运用了间接设元的方法建立方程。谁还有新的解题思路吗？

生4：我用直接设元的方法。设每盆应栽y 株，则与原来相比，每盆增加了（y-3）株，相应的单株盈利就变成[3-0.5（y-3）]元。因此我建立的方程是：y[3-0.5（y-3）]=10。

由于应用题题意难懂，数量关系隐蔽难以揭示，成为学生学习的“拦路虎”。而在此题中，教师善于启发学生用从特殊到一般、由浅入深、逐步推进的方法去寻求对问题的解决，学生在思考的过程中积极运用类比方法，由易到难实行正迁移，并引发联想、激活思维，运用直接设元和间接设元两种方法获得了对问题的顺利解决。

二、“瘦削”教材，化简求精，注重差异与开放，提升学生思维品质——割法：巧减条件，因势利导

在处理教材时，如果教师善用智慧，精心编制一些美丽的“错误”，再顺水推舟、因势利导，充分发挥学生主体意识，注重动态生成，常会收到出其不意的效果。就我个人而言，一次巧减条件的教学之旅，让我对它有了更为深刻的认识，那是在教学浙教版八上《探索勾股定理（1）》时。

原题：已知在△ABC 中，∠C=90°，BC=1，AC=2，求AB 的长。

实际：已知在△ABC 中，BC=1，AC=2，求AB 的长。

例题一呈现，学生立即抗议：“老师，AB 的长没办法求，只能知道它的范围啊。”此时，我“仔细”打量题目，旋即爽快地承认了自己的“粗心大意”，也顺势提出：那请你先说说它的范围吧！如果用勾股定理做，那你们帮老师加个条件吧！（这下，学生思维活跃了）

生3：已知∠A=90°……（此时学生卡住了，我再引导学生画图，学生恍然大悟，此题不符合题意）

课后，我认真反思，深有感触，觉得至少有以下几方面的好处：一是教师在全体学生面前爽快承认了自己的“失误”，消除了师道尊严的居高临下之感，使师生关系更加平等和融洽，创造了良好的学习氛围；二是让学生“帮老师加个条件”，例题呈开放状态，鼓励学生主体建构，更好地激发了学生的参与意识和创新思维；三是教师用心倾听学生发言，善用课堂生成，在良性互动中，学生的情感得到呵护，成果得到认可，增强了学习信心。同时，在交流的过程中，教师及时启发学生画图分析，渗透了数形结合和分类讨论思想，从而进一步完善和提升了学生的数学素养。

实践表明，教师对例题进行“割补”，教师所付出的心血和流淌着智慧的教学，不仅是为了个性化创造性地使用教材，更是为了让每一道“例题”都能伴随教师“关注学生”的目光，化为促进学生发展的又一个新起点，而最终获得了更好的教育教学效果。