关于初中数学教学中折叠问题的解题探讨

江苏省盐城市大丰区实验初级中学 吴 俊

德国著名的数学家曾经说过：思维想象能力是数学学习过程中必不可少的载体。几何数学中的图形空间折叠问题包含了较多的基础图形，需要学生在混乱的组合图形中找出数学等量关系，对隐含条件进行挖掘，提升自身的数学思维能力，从而感受数学学习过程中的趣味性。

一、几何图形在初中数学教学中的重要性

俗话说：得民心者得天下，几何图形在数学中的地位也是一样。在每年中考数学科目结束后，几何图形出题的难易度都受到学生及老师的热切关注，甚至直接决定学生的最终分数，例如：在几何图形中添加辅助线解题、二次函数与几何图形间的联合解题等等，这些几何图形与其他知识点间的结合千变万化，是初中生几何学习中的重点、难点，可以说，初中数学教学的主要沿线就是几何图形。

二、初中数学几何图形折叠问题解题思路分析

1．找出几何图形折叠问题的特点

初中数学学习的趣味性在于几何图形的变化，能够吸引学生的好奇心，激发其学习数学的热情，提升学生解决数学问题的能力及自豪感。虽然折叠问题在几何图形中的形式千变万化，但万变不离其宗，总会有一定的规律，所以学生在对几何图形折叠问题进行解析时，一定要亲身体验图形折叠的过程，这对于空间感较差的学生来说难度非常大，但学生只有经历图形的折叠过程，才能对变换前及变换后的图形有一个更直观的概念，提高学生的理解能力。例如：正方形ABCD的边长为16，将正方形折叠，使点B 落在边CD 上的点Q 位置，折痕为MN，QC 的值为4，求BN 和AM 的值。老师可以利用实物让学生按照例题的表述动手折叠，学生经过多次动手实践后得出其中的结论：折叠的过程就是轴对称变换的过程，根据轴对称变换图形的规律可知：AM=A′M，BM=QM，AN=A′N，BN=QN，再根据边长BC 值为16，QC=4，BN=QN，在直角三角形QCN 中，可求出BN 的值，又因为BM=QM，再带入直角三角形QDM 中，即可得出AM 的值。

2．与其他基础图形搭配解题

实质上，初中数学中教授的图形都具有一定的共性，许多图形的特点都非常明显，用法非常简单，但却可以培养学生的数学逻辑思维能力。在折叠的过程中非常容易形成全等三角形，如上述例题，只要在点M 向BC 作垂直线段，就可以形成两个明显的全等三角形，当学生在解决几何图形折叠问题时，能够把直角及折叠的相关性质活学活用，就可以拓展自身的思维，打开解题的思路，达到解决数学问题的目的。例如：已知在长方形ABCD 中，边AB、AD 分别为16、14，将这个长方形由B 点向AD 上折叠，落在x 点，则折痕的长度为多少？学生在解决这类折叠题型时，应该通过添加辅助线，将两个相似三角形找出来，然后再计算折痕的长。

3．注重数形结合的应用

几何图形折叠问题所要考察的知识点不仅仅局限在图形的推理论证方面，还需要将几何图形与函数相结合，找出相应的数量关系，继而简化运算。出题者在进行出题设计时，经常会将多种基础图形进行折叠形成一个新的多边形，学生要在复杂的图形中找出相等的关系、无变化的条件及其他搭配组合，这样才可以将题目中的隐含条件全部挖掘出来，提升解题速度，对数学知识的领悟程度越来越快。例如：在矩形ABCD 中，AB=6，在BC 上存在点Q，BQ 的值为2，将三角形ABQ 沿着AQ 进行折叠，点B 落在B′处，将QB′延长交AD于点D，再以点Q 将其折叠，使点C 落在F 点，求BC 的长。学生在解决这类折叠问题时，由于折叠的次数较多，题型较复杂，易产生恐惧心理，因此，在解题过程中应该先找到图形中相等的三角形结构，通过简单分析可知∠AQE 的角度为90，可以设CE 为x，那么QC=DQ=AD=3x，所以CF=BQ=2。再根据FE=CE=x，DE=6-x，代入直角三角形EFD 中，根据勾股定理可知：x2=22+（6-x）2，计算出x 的值，从而得出BC 的长度。

4．合理运用平面直角坐标系

在几何图形折叠问题中加入其他数学问题，能够考查学生的分析研究能力及逻辑思维。将平面直角坐标系加入几何图形折叠问题中，既可以反映出数形结合的数学思想，又可以为学生提供更多的解题方法，这也说明了为什么近年来折叠图形在中考试题中出现的频率越来高。

5．正确理解几何图形原理的内涵

在解决几何图形问题时，辅助线可以帮助学生更好地理解几何图形的折叠规律，对理解几何图形原理的内涵具有深远的意义。例如：在长方形OABC 中，OC、BC 的值分别为6、8，已知OA 上有一点P，若将三角形OPC 沿着PC 折叠，使点O 落在长方形OABC 的对角线上的点O′处，那么OP 的值应为多少？学生在解决这样的折叠几何问题时，应以点C 为中心，OC 为半径画一个圆，并添加长方形OABC 的对角线辅助线，可以在图中清晰地看出存在两个O′点，也就是说有两个P 点，这样就简化了复杂的几何问题。学生在计算过程中，需要连接PO′，根据三角形的勾股定理及已知条件，求得OP 的值为3 或者4.5。学生需要在变化的折叠中找出有效条件，添加辅助线段，结合多种图形的基本规律进行综合分析，通过多次练习，找到图形中的对等关系，逐渐增加自身的逻辑思维能力，在题海战术中总结自身的解题规律，从而提高中考数学成绩。

虽然人们能够在音乐中感悟情感，在绘画中陶冶情操，在诗歌中抒发心情，在哲学中领悟人生，通过科学技术提高自身的生活水平，但数学能够得到这一切。对于学生来说，掌握数学学习方法，可以提高其他学科的学习效果，锻炼自身的数学逻辑思维，为学生的思维良性发展提供基础。