“幂的运算”章节起始课——《8.1 同底数幂的乘法》教学设计

江苏省南京市南京三中文昌初中 董 洁

【教学目标】

1.通过类比学习，明确本章学习的主线，体会学习同底数幂乘法运算的必要性。

2.理解同底数幂的乘法法则的意义，会正确运用法则进行计算。

3.感受并运用从特殊到一般、从具体到抽象等数学思想方法，发现并归纳同底数幂的乘法法则。经历“观察、探索、猜想、验证、概括”的过程，进一步发展符号意识，培养观察、发现和有条理地进行语言表达的能力以及演绎推理的能力。

设计意图：第八章“幂的运算”是苏科版《义务教育课程标准实验教科书》七年级上册第三章“代数式”的延续和发展，也是后续学习整式乘法、因式分解和分式运算的基础。幂的运算包括同底数幂的乘法和除法、幂的乘方和积的乘方。整式的乘法运算包括单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘以及多项式与多项式的乘法，它们最后都可以转化为单项式与单项式的乘法，而单项式与单项式的乘法又是以幂的运算性质为基础的。由此可见，同底数幂的乘法是一个基础和起点，作为章节起始课，承载着学习的思想方法和研究的基本套路的指引作用。

【教学重难点】

1.教学重点：通过类比学习，明确本章学习的主线；同底数幂的乘法法则的探究和简单应用。

2.数学难点：底数互为相反数的幂的乘法；类比同底数幂的乘法运算，归纳同底数幂的除法、幂的乘方和积的乘方的运算法则。

设计意图：“同底数幂的乘法法则”从发现到验证，经历了“观察——探索——猜想——猜想——验证”的过程，体现了“从特殊到一般”的数学归纳的思想方法。这种研究方法在探索代数运算规律的时候经常用到。当学生理解和掌握了“同底数幂的乘法”的研究方法和“路线图”的时候，就可以运用类比的方法，自主学习同底数幂的除法、幂的乘方和积的乘方，使学生学会学习、学会研究。因此，本节的重点是同底数幂的乘法法则的探究，通过类比，明确学习主线。

经过一学期的学习，七年级的学生已基本掌握了有理数的运算，对用字母表示数的思想方法也有了一定的认识。但对用字母去归纳总结同底数幂的乘法法则还有一定的困难，这对学生的抽象思维能力和逻辑推理与表达能力都有一定的要求。整体思想和转化思想是初中数学中很重要的思想方法，七年级的学生将未知转化为已知的能力还有所欠缺。所以，对于通过相反数把多项式进行整体转化，学生还是有困难的。

【教学过程】

一、教学情境

问题1：我们在小学学习了数的运算，包括哪些运算？是按什么顺序学习的？在我们前面学习的整式的运算中，学习了哪些运算？类比数的运算的学习过程，你能猜猜我们接下来会学习整式的哪种运算吗？

问题2：下面有四个整式，从中任选两个构造乘法算式：

-a，a2，a3+b，a-ab。

问题3：请将上述答案中的乘法算式进行分类，并说出你的分类标准。

设计意图：在本节课的开始阶段，问题1通过类比数的运算，引出本章学习的内容；问题2的目的是让学生从整体感知和了解整式乘法的类型，为后续将整式的乘法运算全部化归为幂的基本运算（包括同底数幂的乘法与除法，幂的乘方和积的乘方）做好铺垫。

二、探索活动

【活动1】

问题1：运用乘方的定义计算下列各式：

（1）102×103； （2）a3×a5； （3）10m×10n。

问题2：通过对以上计算过程的观察，你发现了什么规律？你能用一个含有字母的式子来表达你的发现吗？

am·an=am+n（m，n是正整数）。即：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

问题3：你能证明所写式子为什么正确吗？你所写的式子中含有的字母可以取任何数吗？有什么范围限制吗？为什么？

设计意图：活动1的3个问题是逐步从具体到抽象地探索同底数幂的乘法运算性质的三个层次。第一层次，幂的底数和指数都是具体的数。第二层次，幂的指数是具体的数，底数是用字母表示，或是幂的底数是具体的数，而指数是用字母表示的。第三层次，幂的底数和指数都是用字母表示的。意在引导学生经历从具体问题发现结论，通过一般推演来验证自己发现结论的过程。后续同底数幂的除法、幂的乘方和积的乘方的运算性质的探索都采用这种过程，从而发展学生的合情推理和演绎推理的能力。在让学生表述自己的发现的过程中，培养学生有条理地表达的能力。最后剖析法则的使用条件，培养学生思考的完整性。

【活动2】

问题1：下列各式中，哪些是同底数幂的乘法运算？

（1）23×25； （2）（-3）3×（-3）8； （3）59×79；

（4）a3+a3； （5）-b2·b5； （6）（x-y）2·（x-y）3。

设计意图：活动2的问题1的设置目的是辨析同底数幂的乘法法则适用的条件：一是底数相同，二是做乘法运算。底数可以是一个数、一个字母，也可以是一个多项式。

问题2（例题）：计算下列各式，结果用幂的形式表示。

（1）23×25； （2）（-3）3×（-3）8；

（3）-b2·b5； （4）（x-y）2·（x-y）3；

（5）x·x3·xm+1。

解：（1）23×25＝ 23+5＝ 28；

（2）（-3）3×（-3）8＝（-3）3+8＝（-3）11＝-311；

（3）-b2·b5＝-b2+5＝-b7；

（4）（x-y）2·（x-y）3＝（x-y）2+3＝（x-y）5；

（5）x·x3·xm+1＝x1+3+（m+1）＝xm+5。

设计意图：问题2是问题1的延续，也是作为例题出现的。给出了应用同底数幂的乘法法则进行计算的范例。第（1）小题是底数为正整数的情形，第（2）小题是底数为负数的情形；第（3）小题是底数是字母的情形；第（4）小题是底数是多项式的情形；第（5）小题是将法则推广到三个同底数幂相乘的情形，进而引导学生继续将法则推广到三个以上的同底数幂相乘的情形。

问题3：下面的计算是否正确？如有错误，请改正。

（1）x3·x3＝ 2x6； （2）x4·x2＝ x8；

（3）a2+a2＝a4； （4）3m×32m＝93m（m是正整数）。

请就上述的问题，归纳法则使用时需要注意的地方。

设计意图：问题3设置了学生常犯的4种典型错题，让学生自我辨析，达到以错纠错的目的，帮助学生进一步理解和掌握法则。

问题4：计算下列各式，结果用幂的形式表示。

（1）（-5）3×53； （2）34×9×81；

（3）（x-2y）2·（2y-x）3；

（4）（-1）2n+1·（-1）2n。

设计意图：问题4中第（1）（3）小题的设置是帮助学生突破学习难点——底数互为相反数的幂的乘法运算。其中，第（1）小题是底数为数的情形，第（3）小题是底数为多项式的情形。而第（2）（4）小题的设置是为了让学生进一步体验化归的思想方法。

设计意图：本例题的设置是让学生熟悉同底数幂的乘法在实际生活中的应用，体会所学内容的必要性。

四、小结思考

三、尝试解决

例题：一颗卫星绕地球运行的速度是7.9×103m/s，求这颗卫星运行1h的路程。

解：因为1h＝3.6×103s，所以这颗卫星运行1h的路程为：

（7.9×103）×（3.6×103）

＝（7.9×3.6）×（103×103）

＝2.884×107（m）。

答：这颗卫星运行1h的路程是2.884×107m。

1.今天我们一起发现、归纳了一个新的法则，你能说出它的内容吗？

2.我们是如何发现和归纳这个法则的？

3.在运用这个法则的时候，需要注意些什么？

4.同底数幂的除法、幂的乘方和积的乘方也是计算单项式与单项式相乘的基础，它们的法则又是什么呢？请同学们类比本节课的研究方法，尝试着自己研究一下。

【教学感悟】

本节课是第八章“幂的运算”章节起始课。起始课的教学要让学生明确本章内容研究的基本套路。作为“起始课”，需要交代所研究的问题背景，引入的基本概念的源头在哪里。所以，在本节课的开始设置了让学生猜测将会学习哪种整式运算的问题，并通过类比数的运算，自然地引出了本节课的教学内容。因为“起始”，所以教学的重点是让学生感受本章数学概念产生、发展的基本过程，体会研究这类数学问题的基本套路，进而提高学生提出问题、解决问题的能力。活动1中的3个问题的设置，就是引导学生学习从具体到抽象、由特殊到一般的研究方法。最后的小结与思考，是提示学生用类比的方式继续研究。通过这样的学习，才能达到使学生学会学习、学会研究的目的，让数学起到育人的作用。