加强习题研究 提升命题能力

王雪飞 戴银杏

数学习题不仅承载着巩固与联系、拓展与应用的基本教学功能，还具有启迪思维、激励创新、发展素养等多重价值。充分挖掘习题的拓展功能，将习题的教学价值尽可能放大，这样既能帮助学生复习、巩固已学知识，又能拓展学生的思维。然而在实践中，教师处理习题往往过于简单化，分析习题更多地注重结果而忽视对学习策略的指导，反映在命题能力上也呈不断弱化的趋势。一线教师如何在不断研究习题的过程中提升习题开发利用能力和命题能力，本刊特推出一组有关习题开发利用、习题编制的文章，与大家一起分享。

【摘   要】针对一线教师处理习题过于简单化、分析习题更多地注重结果而忽视对学习策略的指导以及命题能力日渐弱化的现状，教师在教学实践中应努力研读教材选“好题”、研磨析题寻策略、自主命题促发展。通过深入研究每一道习题，不断“磨”出有思维价值的好题，使学生的思维在问题不断推进的过程中得到尽可能多的锻炼，也使教师的命题能力得到不断的提升。

【关键词】选题;析题;命题

习题不仅承载着巩固与练习、拓展与应用的基本教学功能，还具有启迪思维、激励创新、发展素养等多重价值，它是学生有效学习的主要载体，是教师教学的根本，也是命题者命题的立足点。综观现行的人教版小学数学教材，习题的编制体现了基础性、探究性、实践性和开放性，如果能用活这些习题，充分发挥习题的潜在功能，就能让学生在获得知识的同时发展思维能力，体会数学思想和方法。加强对课本习题的研究，是每一位数学教师不容忽视的责任。

然而，一线教师在选择习题、分析习题以及自主命题方面都存在误区，导致数学教学效率低下，学生学业负担沉重。误区主要有以下三点：一是处理习题过于简单化。许多教师总是习惯照本宣科，先让学生独立做一做，然后核对一下答案进行简单讲评，忽视了习题本身所具有的拓展和延伸的功能;二是分析习题更多地关注结果，忽视对学生思维过程的剖析以及学习策略的指导;三是命题能力日渐弱化。大量的教辅材料、简单的“拿来主义”，导致许多教师不愿研究命题，不会命题者比比皆是。近几年来，高考数学中的一些试题“源于课本，而又高于课本”，小学数学学业评价的命题直接改编自教材的题目不少于60%，这对数学教师的命题能力提出了新的要求。同时，对我们的教学也起到了良好的导向作用，那就是立足教材、深入研究教材，对教材中的例题和习题进行再加工、再创造，顺应教材的知识体系，既能有效训练学生的思维能力，提高数学课堂教学的效率，还能让一线教师在不断研究习题的过程中提高自身的命题能力。本文结合一道习题的教学实践谈几点做法与体会。

【问题呈现】

这道习题是这样的：

皮皮把两根长分别是1米2分米和8分米的木棒连接起来，如果重叠部分的长度是10厘米，连接后木棒的总长度是多少？

这道题来自人教版三年级上册配套的数学《课堂作业本》，是第三单元《测量》中的一道习题。这道题是利用数形结合思想解决的典型题目，解决此题的关键在于运用数形结合思想，要求学生借助直观图去探讨、去发现。这不是从学生头脑中已有的思维形式和思维方法中去找答案，而是从问题的本身出发做具体的分析研究，进行一系列探索性思维活动，培养学生善于思考的习惯，增强思维的条理性和严密性。如此“好题”却是学生心目中的难题，作业错误率高达68.8%，通过分析学生的错解原因，笔者发现很多学生做题总是跟着感觉走，能自觉去画图理解题意的少之又少，这引起了笔者的思考：①用什么方式引导学生由易到难、循序渐进地理解这道题的解题思路？②通过这道题的教学，学生能够学会什么，得到哪些方面的发展？③如何培养学生主动运用数形结合思想解决问题的意识？

【教学实践】

（一）自主解决寻策略

1.呈现问题，尝试解决。

教师出示题目，学生自由读题，尝试解答。之后教师组织学生交流，发现有几种不同的情况：部分学生沉默，无从下手;有少数学生能正确解答;多数学生似懂非懂，也不能判断其对错。

2.渗透思想，启示方法。

启发：在学习过程中，遇到难题怎么办？ 通过讨论、交流得出：面对难题，我们要综合以前学习过的多种策略，化抽象为直观。

3.自主分析，探究策略。

（1）读题并结合自己的思考，尝试画一画示意图来表述题意，促进学生更清晰地、更正确地理解题意。

（2）学生通过思考、交流找出解题方法，选择有关数据进行计算。

（3）全班交流，配合课件的动态演示，进一步理解“为什么要减去重叠部分”。

方法一：                         方法二：                     方法三：

1米2分米=12分米    1米2分米=12分米        1米2分米=12分米

10厘米=1分米          10厘米=1分米            10厘米=1分米

12+8-1=19（分米）     12-1+8=19（分米）             8-1+12=19（分米）

4.回顾反思，總结要点。

第一次回顾反思：三种解题思路有什么共同点？总结要点：都减去了重叠的1分米。

第二次回顾反思：刚才，我们是怎样从不会到会的？总结要点：数形结合，把文字变成直观的图形，让解题更明了更简单。

（二）题组变式求通联

根据知识内容的就近发展区设计变式练习，适当增加难度，进一步加深学生对“重叠部分”的理解，培养学生思维的灵活性。

题1：把3根长都是4分米的木棍捆在一起，重叠部分长度是1分米（如图1），那么连接后木棍的总长度是多少？

题2：把3根同样长的木棍捆在一起，使其成为一根10分米长的木棍，重叠部分长度是1分米，这3根木棍各长多少分米？

题3：把3根长都是4分米的木棍捆在一起，连接后木棍的总长度是10分米，重叠部分长度是多少分米？

以上题组的设计从2根重叠到3根重叠，从求重叠后的长度到求每根的长度，再到求重叠的长度，这样的题组从模仿性思考到独立思考，沟通了三个数量之间的内在联系，有利于知识结构的构建。

（三）巧设迁移拓思维

学习优秀的学生往往善于将学习到的知识经验迁移到新的情境中去。因此，教学中要指导学生学会迁移运用知识，找出知识之间的内在联系和解题方法，让已有知识和经验得以充分利用。

出示人教版三年级上册“集合”单元中的习题：

同学们到动物园游玩，参观熊猫馆的有25人，参观大象馆的有30人，两个馆都参观的有18人。参观熊猫馆和大象馆的一共有几人？

（1）在学生独立完成、反馈交流后，让学生回顾之前做过的哪道题就是集合中的重叠问题。学生交流后再次呈现书本原题：皮皮把两根长分别是1米2分米和8分米的木棒连接起来，如果重叠部分的长度是10厘米，连接后木棒的总长度是多少？

（2）沟通比较寻共性：这两道题有什么相同之处？（都是已知两部分的量和重叠部分的量，求总数;解题方法也是一样的）

（3）在学生交流的基础上，教师适时引导（课件动态呈现，如图2）：如果兩根木棒的4个点是4个不同地点，从小刚家到学校有800米，从书店到学校有100米，到超市有1200米，那么从小刚家到超市的距离是多少米？

[小刚家][书店][学校][超市]

图2

（4）学生尝试解答，交流算法。

（5）回顾反思促迁移：你又有什么新的发现？总结要点：这三道题情境不同，但解题思路都是一样的，解题的方法也是一样的。

通过典型范例的思路剖析，学生对重叠问题的基本题型及解题规律已了然于胸，这一过程既揭示了知识间的内在联系，有效地实现了迁移，又使学生的思维逐步走向深入。

【教学思考】

教学中如果就题论题，那么习题的价值自然就很有限。如果能像上述案例中那样灵活地进行处理，充分挖掘习题的拓展功能，将习题的教学价值尽可能放大，这样既能帮助学生复习、巩固已经掌握的知识，又能拓展学生的思维。那么教师在教学中如何立足原题，磨出好题，提高自身的命题能力呢？

（一）研读教材选“好题”

首先，作为教师要做教材的“下水题”，要把教材后面的习题按照要求做一遍，以便准确地把握作业的难易程度，同时熟悉学生解题中知识的障碍点。其次，教师在做题时并不能仅满足于把题目解出来，而是要将题目进行分类整理，可以从题目的难易程度、知识分类、解题方法和错误类型等方面着手，思考题目与知识、能力之间的内在关系，题目之间的相互关系以及题目在多视角下的不同的解决方法。最后，在大量做题后，找出适合磨题的“好题”，主要包括：①易错、易混或反复出错的题目;②综合性较强的题目，这类问题往往包含两个或多个知识点，较为复杂，需要学生在审清题意后，分析已知条件和所求问题之间的关系，找到解题的突破口;③开放性较强的题目，解这类题学生需要开阔思路，从多角度去思考，以寻找共性和最优解法;④典型题目，这些题目能充分体现知识点、思想方法、运算技巧等某一方面或某几方面的典型特征。

（二）研磨析题寻策略

在研读教材的基础上，教师应尽可能站在学生的角度对每道题的解决方案和学生可能遇到的困难进行思考，了解学生错解的真实想法，寻求有效指导的方法与策略。

（1）数形结合，化抽象为直观。数形结合是分析问题和解决问题常用的策略，借助形象的图形来解题，可以将抽象的数量关系具体化、形象化。因此教师要认真研读教材的每一道习题，适时引导学生以“形”思“数”，让学生养成数形结合的良好习惯。如从一年级开始就可以引导学生用简单的符号画一画，再逐步过渡到画线段图，让数形结合思想成为学生学习数学不可或缺的工具。

（2）操作引领，从感性到理性。教材中的很多习题具有较强的探究性和操作性，教学中许多教师经常对操作的部分轻描淡写，甚至直接略过，操作性习题的功能被大大地弱化、忽视。如人教版三年级上册“分数的初步认识”单元中有这样一道习题（P99第9题）。

这道题主要是考查分数的意义，把单位“1”平均分成若干份，用分数表示，分母是分成的份数，分子是要表示的份数。关键是找规律，如果没有直观的操作体验，学生很难发现这张长方形纸对折的次数与平均分成的份数之间的关系。

遇到诸如此类的习题，教师都应该给学生提供动手操作的空间，充分放手让学生动手实践，以动手操作引领探究活动，帮助学生丰富活动经验，逐步加深对数学知识的理解。

（3）一题多解，训练思维的发散性。解题时教师可以搭建新旧知识之间的桥梁，以唤起学生对已有知识和经验的回忆，达到一题多解的效果;也可以通过巧设问题，如用“还有不同的解法吗？”“如果……会怎样？”等语言引导学生深入思考，去发现解决问题的新思路。如人教版三年级上册“长方形和正方形”单元中有这样一题（P88第9题）。这道题的教学，在理解题意的基础上放手让学生独立解答，反馈交流中学生的思维互相碰撞、升华，想到了四种解题方法。

方法一：先分别求出大、小正方形的边长。24÷4=6（厘米），12÷4=3（厘米）。再求出组合图形的周长6×3+3×3+（6-3）=30（厘米）。

方法二：先求出小正方形的边长12÷4=3（厘米），再求出重合部分的长度和3×2=6（厘米），最后求出组合图形的周长24+12-6=30（厘米）。

方法三：先求出大、小正方形的边长24÷4=6（厘米），12÷4=3（厘米）。再通过平移成长方形求出组合图形的周长（6+6+3）×2=30（厘米）。

方法四：先求出小正方形两条边长度和12÷2=6（厘米），再求组合图形的周长24+6=30（厘米）。

课堂上只要教师给学生提供足够的时间和空间，学生就会给我们意外的惊喜。经常引导学生从不同角度去分析，可以训练学生的发散思维。

（三）自主命题促发展

课本上的不少例题、习题都有很高的研究价值，如果对这些题目进行充分挖掘、精心整合，就能使学生获得明确的指引，并得到有效的训练，达到举一反三的效果。

（1）有机整合。以教材习题为模板，分析习题的内在结构与特点，将不同学段的习题巧妙整合，以提高学生综合运用知识的能力。如人教版三年级上册“长方形和正方形”单元练习十七第7题（P82）和人教版三年级下册“面积”单元练习十五第8题（P69）。

可将这两题进行习题改编：李叔叔有一块长10米，宽6米的地，准备划一块最大的正方形用来种菜，剩下的用围栏围成一个花坛，围栏长多少米？这个花坛占地多少平方米？

这道题将教材中聯系紧密的两个知识点，借助一定的情境通过重组让周长和面积有机融合在一起。通过比较，厘清周长和面积这两个概念的本质区别，加深对已有知识的理解和掌握。

（2）拓展延伸。对于教材中的习题，合理添加或删减条件的一部分或结论的一部分，就可以提高习题难度，增加思维含量。如人教版二年级下册“有余数除法”单元练习十四第14题（P66）。题目是：?÷8=?……?，余数最大是几？可将习题改编为：?÷8=6……?，被除数最大是几？被除数最小是几？原题考查的是“余数要比除数小”这一知识点，单调的“一题一解”式对学生缺乏挑战性。改编后的习题有较强的综合性，通过这道题的练习，学生就会对“有余数除法”中被除数、除数、商和余数各部分之间的关系有更全面的认识;一个好的问题可以持续地引导学生思考，促使其对原有的知识进行重组建构，这样学生对知识的理解才会更深刻、更牢固。

（3）改变题型。保持原有习题的内容不变，改变问题的形式、结构和呈现方式等，再添加合适的问题情境，把题目改编成另一种题型。如人教版三年级上册“倍的认识”练习十一第9题（P55）。

可将习题改编为：

小红有6颗白珠子，56颗黑珠子。她想做一串项链，要使黑珠子数量是白珠子的7倍，下面哪种方法不能做到（       ）。

①增加2颗白珠子。

②减少14颗黑珠子。

③减少1颗白珠子和21颗黑珠子。

④增加1颗白珠子和7颗黑珠子。

原题着重考查学生运用倍的知识解决实际问题的能力，其结果是唯一的，改编后的题目比原题更具有开放性和灵活性，为学生的思维创设了一个更广阔的空间。

（4）自主创编。教师在深入钻研教材和研究习题的基础上，结合学生的学情来进行自主创编，体现了命题“基于教材，又高于教材”的思想。如人教版四年级下册“小数加减法”单元试卷自主创编：

一个铅笔盒与一套尺子共多少元？下面是小东和小红的方法，你同意哪个？写出你的理由。

这道题要求学生结合实际情境写出“小数点为什么要对齐”的思考过程，更多关注学生对知识本身意义的理解，重视对知识、技能形成过程的考查，有利于发展学生的思维能力，同时促使教师对过程教学的重视。

总之，教学中教师若能深入研究每一道习题，对课本习题进行合理的加工改编，就能不断“磨”出有思维价值的好题。同时，给学生创设广阔的思维活动空间，引导学生进行观察、比较、猜测、引申、拓宽，使学生的思维在问题不断推进的过程中得到尽可能多的锻炼、得到尽可能大的提升，真正促进学生数学素养的发展。

参考文献：

[1]周秋英.挖掘习题的发现与拓展功能[J].小学数学教育，2018（Z4）：24-25.

[2]王燕涛.着眼促进发展，合理加工习题[J].小学数学教育，2018（Z4）：17-18.

[3]肖伟国.教材习题改编例谈[J].教学月刊·小学版（数学），2014（10）：15-16.

（浙江省天台县外国语学校   317200）