在“夹缝”中求解的一类不等式问题

南京航空航天大学附属高级中学 唐 举

引例已知数列{an}是公差不为零的等差数列，{bn}是等比数列，且a2=b2=1，a3-1=b3，a4-1=b4.

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）记cn=an·bn，求数列{cn}的前n项和Sn；

上题是最近的一次期末考试题，题中条件先给出“已知不等式恰有3解”，因为问题新颖，学生审题后不知如何入手，得分极低.此处如果把“3解”改为“无数解”或者“有解”，它便变成了同学们熟悉的恒成立或者存在性成立问题，问题也就转化为求最值问题，那么本题解法是否和两类常规问题解法有相通之处呢？具体该如何求解呢？先来看下面的两道题.

例1若关于x的不等式x2-x-a≤0的解集中的正整数有且只有3个，则实数a的取值范围是 .

分析可以先分离参数a，得到a ≥x2-x，转化成直线y=a与抛物线f（x）=x2-x 的图象位置问题，再由已知条件知道3个正整数解是x=1，2，3，即可限定直线y=a在直线y=f（3）和直线y=f（4）之间，两条水平线之间可被形象地看作为夹缝，另外要注意到可穿过下端点，不能穿过上端点.

解析由不等式x2-x-a ≤0得，a≥x2-x.设f（x）=x2-x，因为对称轴为时，f（x）单调递增，所以3个正整数解是x=1，2，3，得f（3）≤a＜f（4），即6≤a＜12.

例2在数列{an}中，a1+2a2+22a3+…+2n-1an=（n·2n-2n+1）t对任意n∈N*成立，其中常数t＞0.若关于n的不等式的解集为{n|n≥4，n∈N*}，则实数m 的取值范围是__________.

分析本题前面部分为数列知识，求解的分析过程省略，当不等式化简为m 后，如分析时感觉困难，可把问题转化为的解集为{1，2，3}，这样问题就和例1完全相同了，解法也同例1.如果思路比较清晰，可以从原不等式入手，此时尤其要注意“解集为{n|n≥4，n∈N*}”的言外之意，即n=3不满足不等式，所以m 的范围被3和4对应的函数值同时限制.

解析因为a1+2a2+22a3+…+2n-1an=（n·2n-2n+1）t①，所以a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1=[（n-1）·2n-1-2n-1+1]t②，①-②得an=nt（n≥2），经检验n=1时该式成立，所以不等式转化为所以所以因为原不等式的解集为{n|n≥4，n∈N*}，所以同时有n=1，2，3时不满足不等式，又因为随着n 的增大而增大，所以f（3）≤m ＜f（4），解得

看完以上两个例子后，你对文章开头的那道题目是不是有了解决的方法了呢？下面我们一起来分析引例.

本题作为解答题最后一题，第3问得分非常低，从条件形式上看，不等式很复杂，化繁为简的过程就很繁琐，尤其是不熟悉“恰有3个解”这种条件时，化简时更没有方向.因为最终目标是把m 和n分离开，所以在代入an和bn的通项式后，可先消去左边不等式分子分母里的系数2，再对左右两边同时分离常数，当化简到时，不需要像前面两题一样分离出单个参量m，只要分离出含有m 的不等式，考虑到只有n=1时，2n-3＜0，所以先讨论n=1，得该不等式显然成立，再讨论n≥2时，不等式转化为对右边构造函数Tn，由作差法得右式的单调性，同时得出Tn为最小的3个数时n的取值，接下来就能用通法来找到应该放置的“夹缝”了.具体解析如下：

解析（1）an=2n-3，bn=2n-2；

（2）略；

总结例1问题情境简单清晰，解法过程直指目标方法；例2题目条件形式看似与例1不同，若用“正难则反”方法，原问题可转化为不等式方向反向后解集有3个元素的问题，这与例1条件完全相同，方法自不必再说；引例是一道综合题，需顺利求解得到前2问的正确答案，再代入第3问的不等式，如对找“夹缝”的方法已经比较熟悉，则在化简的过程中自然会依次想到消系数、分离常数和分离参数的方法，但是分离参数时容易机械地认为要分离出单个参量m，这就增加了难度，相当于是一个误区，正确方法是只要分离出关于参量m 的整体表达式即可，然后按照通法找准“夹缝”的两条边界线就能得到m 的整体表达式的范围，进而求出参量m 的具体范围.