小题也有大价值——例谈如何创造性地开展解题教学

镇江市丹徒高级中学(212143) 徐继林

波利亚在《数学的发现》序言中说：“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练.”这一理念已经深入人心,我国的基础教育也非常重视解题教学,变式训练已经成为中国数学教育的一大特色.然而,面对数学核心素养的提出,我们的解题教学暴露出缺乏新鲜血液,缺少创造性,缺失文化底蕴等等问题.这也一直是造成我们中学数学课堂活力不足、学生普遍感觉枯燥无味的最大原因.结合笔者的教学实际,从平时我们教材中经常碰到的一些非常平凡而朴实的习题中,就如何创造性的开展解题教学,分享我的一些做法.

一、挖掘蕴藏生活经验的好题,体现趣味性

科学来源于生活,中学数学也不例外.高中数学诸如不等式、数列、概率知识原理等等都来源于生活,从不同侧面反映实际生活.我们若能在适当时候挖掘蕴藏生活经验的好题,充分体现数学教学的趣味性,这样的解题教学能够吸引学生,富有创造性,教学是高效的.

案例1已知a＞b＞0,m＞0,试用分析法证明：.(苏教版选修2-2第105页第11题)

分析教材上的一道课后习题,要求用分析法证明,当然也是最优解法.然而我们如果就此结束,只能是一般的解题教学,本题的教学价值没有得到充分开发.教学效果不会太大,没有达到思维训练的目的.实际上,本题蕴含着丰富的教学价值,比如我们若能引导学生结合生活实际巧妙联想,便可得到上述不等式蕴含着糖水加糖更甜的很有意思的生活经验.

当然,本题除了分析法,还有作差法,如果从函数角度考虑,我们还可以启发学生,灵活变换,构造函数来证明,也很富有意趣,更能训练学生思维.

证明令因为b-a＜0,所以f(x)在[0,+∞)上为增函数.又m＞0,所以f(m)＞f(0),即.

二、探究欣赏一题多解,体现思维灵活性

对于公式的应用教学,灵活运用公式是学生的思维高地,很多学生虽然能记住公式,可一旦出现变式题,学生却是很难掌握其精髓的.

笔者在三角函数的教学中,总是感想：学生怎么就记不住三角变换那几个公式?同一道题变换了一个符号或是一个数据或者某个结构,学生怎么就不会运用三角公式了呢?是学生智商不够?我想这是不太负责任的推辞,这说明我们是不是没有讲透公式?生成公式的教学是定理公式教学的第一重要环节,即使浓墨重彩也不足为过,另外,还有一个直接关系到学生能否灵活运用公式的环节,即探究典型例题,让学生内化公式不断反思的环节.

案例2求值.(苏教版必修 4第123页第2(4)题)

师：你能从不同角度用多种方法求解此题吗?

法一：从函数名出发,化切为弦,逆向运用两角差的正切公式,原式=

法二：从角度出发,凑配特殊角,逆向运用两角和与差的正弦公式,原式=.

法三：从角度出发,凑配特殊角,正向运用两角差的正余弦公式由 sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-

法四：从结构出发,逆用平方差公式,灵活运用正余弦的二倍角公式,原式=.

法五：从角度出发,上下平方,灵活运用平方关系和二倍角公式,原式=.而sin15°-cos15°＜0,sin15°+cos15°＞0,故原式=.

评析这道题看起来真的很普通,大部分教师会用方法一讲完了事,可这对学生掌握公式形成灵活运用公式的能力作用很有限.深入探究后,我们不难发现这道题的五种解法几乎能用遍所有三角变换公式(两角和与差的正余弦正切公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系、诱导公式),包含三角章节解题中全部三个思路(化角、化函数名、化结构),囊括所有常见的技巧(1的妙用、平方、凑配角度、公式逆用)以及几乎所有常用特殊角,这对训练学生思维、复习和内化公式的作用可想而知,对学生灵活掌握公式、建构知识系统和形成综合能力大有裨益!

三、揭开命题背后规律,体现思维深刻性

一道小小的习题,表面上看,似乎真的没什么价值,可背后可能就隐藏着某个一般性规律或者结论.引导学生探索习题背后的一般原理,是训练学生思维深刻性的有效手段,这正是小题也有大价值.

案例3求lg32+lg35+3lg2lg5的值.

解lg32+lg35+3lg2lg5=(lg2+lg5)(lg22+lg25-lg2lg5)+3lg2lg5=(lg2+lg5)2-3lg2lg5+3lg2lg5=1

评析本题只需几次运用对数运算的常见结论lg2+lg5=lg10=1即可化简求解,不能算难题,考察的主要知识点就是常用对数的化简求值.倘若就此结束,这道小题也就完成了它的使命.然而,我们从代数式的运算角度出发,发现了更一般的结论,这就是小题中蕴含着的大价值.

事实上,由(a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+3ab(a+b),不难发现,只要a+b=1,就有a3+b3+3ab=1.即由此,得到一个含有一般性结论的变式题：

变式1若a+b=1,求a3+b3+3ab的值.

变式2若a+b=-1,求a3+b3-3ab的值.

这一案例对于教师命题也有一定的启发,有命制试卷经历的老师可能都这样的：从恒等式中寻找灵感!

四、推广探究一般情况,体现思维抽象性

案例4已知x,y为正数,求的最大值.

评析这是镇江市高三期末一道填空题,然而正是这道小题却极具研究价值.

笔者在文[1]从解题方法的视角,根据学生解题活动的思维冲突不同,给出了本题四种简便有效的方法,并指出了如何具体运用基本不等式来求解这类函数的最值.这是从解题方法角度上发现的大价值.

另外,经过笔者进一步研究,发现本题数据和结构过于特殊(分母系数正好是对称轮换的),笔者将原题进行了推广探究,发现了一组优美而又一般化结论.如果进行适当的教学设计,这正是训练学生思维抽象性的绝好素材.

变式1已知x,y为正数,m≥1,求二元函数的最大值.

变式2已知x,y为正数,m,n≥1,求二元函数的最大值.

变式3已知x,y,m,n为正数,讨论二元函数f(x,y)=的最值.

变式4已知x,y,m,n,p,q为正数,讨论二元函数的最值.

变式5已知x,y,m,n,p,q,a,b为正数,讨论二元函数的最值.

五、尝试特殊思想,培养化解难点的素养

案例5在△ACB中,D是BC延长线上的点,CB=3CD,E是线段DC上的任意一点,且求实数λ的范围.

评析本题如果运用建系坐标法,会面临一个难处,没有直角不太好建立直角坐标系,但是我们发现,结论对△ACB的形状并没有什么要求,也就是△ACB可以是任何的三角形,这为我们运用特殊法提供了技术保障,假设△ACB是等腰直角三角形,便可化解难处,顺利建系运用坐标法解决本题.

案例6设P为椭圆长轴上的一个动点,过点P斜率为k的直线交椭圆于A,B两点,若|PA|2+|PB|2的值仅仅依赖于k而与P无关,则k的值是_____．

评析常规方法解答此题,运算过于复杂,很难在短时间内得到正确答案,即使花上十多分钟算出了正确结果,这在高考中也是不允许的,而特殊思想就能大显身手.本题中|PA|2+|PB|2的值仅仅依赖于k而与P无关,我们可以让点P特殊化,分别在坐标原点和长轴的一个端点,采用“算两次”的方法,就可以求出斜率为k．如此,不难发现本题斜率k只会与椭圆方程有关,即我们可以得到这样的一般性结论：

设P为椭圆长轴上的一个动点,过点P斜率为k的直线交椭圆于A,B两点,若|PA|2+|PB|2的值仅仅依赖于k而与P无关,则．

所以,解题教学不能按部就班,容易造成思维定式,尝试特殊思想,培养学生思维的灵活性,培养克服难点的核心素养,从平时遇到的小题中也能发现大价值,我想,这正是开展创造性解题教学的一个重要方面.

六、沐浴历史精华,体现数学文化的价值

案例7(2011湖北高考理科A型卷第13题)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共为3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为__升.

背景介绍《九章算术》是我国一部流传至今的古代数学典籍,据考证,大约成书于东汉初期,作者姓名不详.这部中国古典数学最重要的经典著作,总结了我国先秦至西汉的数学成果,形成了以问题为中心的算法体系.《九章算术》是一部以问题集形式编写的算书,共有246个问题,按不同算法类型分为九章.《九章算术》是几代人中国人共同劳动的结晶,它的出现标志着中国古代数学体系的形成.后世的数学家,大都是从《九章算术》开始学习和研究数学知识的.该书的一些知识还传播至古代印度和阿拉伯,甚至远至欧洲,因此,该书不仅是我国传统文化的一部分,更是世界数学宝库中的一支奇葩.

赏析案例1中“竹九节”问题出自《九章算术》第三章“衰分”有关求解等差数列问题.不过,原书中采用的是比例方法.这两个题实际上是考查这样一个数列问题：已知一个等差数列共9项,前4项的和是3,后3项的和是4,求第5项是多少?然而命题题者并没有这样出题,而是赋予了其深刻的历史文化内涵,进行了别具匠心的包装,充分体现了数学的文化价值,使高考数学试卷增色不少.这样一来,本题考查的就不仅仅是数学本身的知识(等差数列相关内容),更重要的是将实际问题转化为数学问题的能力即运用数学的能力,这是数学核心素养的重要方面,而这正是如今高中数学教育所缺失的,近几年的湖北高考卷为我们改革突破提供了参考和建议.

七、结束语

一些很小很小的习题,平凡而简单,如果我一带而过,也就没有精彩的探究,也就不会发现蕴含其中的大价值.而如何创造性的开展解题教学?从上述案例中,我们可以得到这样的启发：就是从这些所谓的小题中,发现讲解的妙法,找到开发小题的价值依托,选准某个方向,深入挖掘,肯定别有洞天!

让我们的解题教学充满智慧,充满乐趣,充满思想的火花,我想这也是高效数学课堂的建构方向.从小题的探究过程中,我们关注教学中的每一个细节,你会发现蕴藏其中的精彩,用心思考,小题也有大价值!