借助多种情境感悟两积之和的模型

胡晓仙

【教学内容】

浙教版五年级第二单元。

【课前思考】

模型思想是学生体会和理解数学思想与外部世界联系的基本途径，建立模型思想有助于学生提高数学学习的兴趣与应用意识。对于“两积之和”这一学习内容，可以借助几何图形让学生直观感知各个量之间的关系，同时借助多种情境进行感知。让学生通过观察、比较，发现：情境在变，数量关系在变，但数学结构不变，找到“两积之和”的基本模型“a×b+c×d=f”，并用这个模型解决生活实际问题。同时学生也学会用不同的代数式表示同一个量，为列方程做准备。

【教学过程】

一、开门见山，直接导入

（直接呈现一个长方形）

师：说说长方形的面积怎么计算？需要什么条件？

（给出一个数据：10，a）

【设计意图：本课导入开门见山，直指数学本质，避免不必要的干扰。】

二、新授

1.借助几何直观情境，初步建立两积之和的模型。

（1）根据已有数学信息，用代数式表示两个长方形的面积，说说代数式的含义。

师：你能表示绿长方形的面积吗？你是怎么理解10a 的？

生：绿长方形的长是10，宽是a，面积为10×a，简写作：10a。

师：你能表示红长方形的面积吗？20a，你是怎么理解的？

生：红长方形的长是20，宽是a，面积为20×a，简写作：20a。

（2）借助想象，初步建立两积之和的几何直观模型。

师：刚才同学们把两个长方形的面积都用代数式表示出来了。如果我把两个长方形通过平移会得到一个什么图形？

生：绿长方形通过平移后与红长方形拼成一个“L”型的图形。

师：你能用一个代数式表示这个图形的面积吗？

生：20a+10a，20a 表 示 红 长方形的面积，10a 表示绿长方形的面积，合起来就是这个图形的面积。

师：如果我让这个绿长方形旋转后，拼在一起会是什么图形？

生：绿长方形旋转后与红长方形拼成一个大长方形。

师：你能用代数式表示这个图形的面积吗？

生：20a+10a，表示红长方形和绿长方形的面积。

生：（20+10）×a，（20+10）表示大长方形的长，a 表示宽。

师：这两个代数式看似不同，但它们都表示总面积，所以用等号连接。除了结合长方形的图来解释（20+10）×a=20a+10a，你还能怎么解释？

生：10 个a 加20 个a 等于（20+10）个a。

师：其实这就是乘法分配律。无论怎么拼，总面积不变。

【设计意图：通过想象两个不同的长方形拼成的图形，培养学生的空间观念。同一个图形用两种不同的代数式表示，在几何直观图中沟通两者的联系，又用乘法的意义来解释，为后续乘法分配律的学习奠定基础。】

2.借助行程问题及单价、数量、总价的问题情境，再次感悟两积之和的模型。

（1）根据已有的数学信息，用代数式表示出全程，并说说代数式的含义。

出示题目：狗和兔子从甲乙两地相向而行，兔子的奔跑速度为10 米/秒，狗的奔跑速度为20 米/秒，经过a 秒后，兔子和狗相遇，你能表示出甲乙两地的距离吗？

生：10a+20a，10a 表示 兔 子跑的路程，20a 表示狗跑的路程，合起来就是兔子和狗相遇时跑的总路程。

（2）借助线段图的直观演示，帮助学生理解速度和的概念。

师：还能怎么表示甲乙两地的距离？

生：（10+20）a，（10+20）表示狗和兔子一秒钟跑的路程，奔跑a 秒，乘以a 就是总路程。

【设计意图：速度和的概念对于部分学生来说还是比较陌生的。如何理解（10+20）表示的是兔子和狗一秒钟跑的路程呢？仅靠学生或教师的口头描述是远远不够的。因此，借助多媒体用线段图直观的演示，一秒钟后兔子和狗分别相向跑10 米和20 米，实际靠近30 米。】

（3）直接呈现单价、数量、总价的问题情境，用代数式表示总价。

例：小明去水果店买了单价为10 元/千克的苹果和单价为20 元/千克的冬枣，各a 千克。请问小明买水果共花了多少元？

3.比较三个不同的情境及代数式，发现不同点与相同点。

（1）小组合组。（5 分钟）

合作目标：比较三个情境中的相同点与不同点。

合作要求：

①先独立思考2 分钟，把你的想法写下来。

②小组交流，汇总想法。

③全班交流汇报。

（2）全班汇报交流。（5 分钟）

环节一：抽象分析。

师：刚才我们研究长方形的面积、速度时间路程以及单价数量总价的问题，现在请你比较这三道题有什么相同点和不同点？

生：数字相同，未知数一样。

生：计算方法一样。

生：都是先算积，再算和。说明它们的数学模型一样，都是a×b+c×d=f 这样的形式。

师：那有什么不同呢？

生：数量关系不同。

师：怎么不同？

生：第一题是长方形的面积=长×宽，第二题是路程=速度×时间，第三题是总价=单价×数量。

环节二：进一步把两个具体情境回到几何图形中寻找它的意义。

师：其实这两个问题跟长方形有很大的联系，我们一起来找一找。兔子的速度10 米/秒表示绿长方形的长。你能像我这样找一找，说一说吗？

生：狗的速度20 米/秒，表示红长方形的长。

生：a 秒表示长方形的宽。

生：20a——狗跑的路程相当于大长方形的面积，10a——兔子跑的路程相当于小长方形的面积。

师：你能从这个图形中找到第三题对应的数据吗？红长方形的长20 相当于？请你和同桌说说。

小结：这三道题有的讲长方形的面积，有的讲速度时间路程的故事，有的讲单价数量总价的故事，但是经过我们的研究比较发现，其实它们的模型是一样的，都是两积之和的模型。

【设计意图：建模的前提是充分感知模型关注的对象，由许多具有共同特征的一类事物中，抽象出这类事物的特征或内在联系，积累表象经验。因此，设计三个不同的情境为学生提供丰富的感性材料。学生通过比较、观察，发现：三道题的情境在变化，数量关系在变化，但计算方法不变，都是先求积，再求两部分的和，从而得出“两积之和”的模型“a×b+c×d=f”。几何直观主要指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路。所以又让学生将下面两种情境的数据对应到几何图中或者从几何图中找到情境中的数据，借助图形的直观性特点将抽象的数量关系与直观的图形有机结合，帮助学生直观地理解数学，充分展示问题的本质，再次体会两积之和的结构模型。这样的设计，帮助学生有效的突破难点和重点。】

三、拓展延伸

第一关：李师傅和徒弟合作加工一批零件，师傅每分钟做16个，做了a 分钟，徒弟每分钟做12 个，做了b 分钟。问：一共做了几个零件？

第二关：学校买进一批科技书和故事书，故事书有a 本，每本18 元，科技书有78 本，每本c元。问：学校采购这批书一共花了多少钱？

比较：有人说这组代数式和上一组代数式相同，也有人说不同？你是怎么思考的？请你把你的想法写在作业纸上。

生：我觉得相同，都是两积之和的模型。

生：我觉得不同，上一组是同一个字母，下面一组是不同的字母。

小结：上一组其实是两积之和的特殊模型，有一个因数相同；下一组是两积之和的一般模型。

【设计意图：本环节设置两个不同的情境同时将上一组题的数据进行变换，变成没有一个因数是相同的，以列两积之和的代数式。再次将两个题组进行观察、比较，发现不变的是两积之和的结构，只不过是上面题组中有个因数是相同的，是两积之和的特殊结构，而下面题组是两积之和的一般结构a×b+c×d=f，再次感知两积之和建立的过程。】