说说高考对数学基础的考查

徐 舟

高考的主要目的是为高校选拔合格的新生，因此必须测试考生必备的数学基础．知识的积累和技能的掌握是最重要的学习目标，是解决一切问题的基础．高考的目的和性质决定了它不仅要对考生的学科知识和具体技能进行考核，而且要对知识的内在联系、学科的基本规律及方法的理解程度和应用程度进行考查．

因此高三数学复习不仅要重视解题训练，而且要通过课本阅读、解题反思等方法，进一步巩固基础．根深才能叶茂．

生甲：一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，则其最小内角的正弦值为________．

解答设最小内角为θ，则另一个锐角为由正弦函数在上单调递增，有因此有成等比数列，所以有化简得cos2θ=sinθ，所以sin2θ+sinθ-1=0，解得sinθ=又因为θ为锐角，故

生乙：他的解题过程比较详细，但是遗漏了θ为最小锐角的取值范围．由于0，所以我认为这样更严谨．

师：讲得好！此题以直角三角形为背景，考查的基础知识有正弦函数的性质、同角三角函数的关系和等比数列的概念等，是在知识的交汇处设计命题的．三角形中三角函数的本质是刻画三角形中边与角之间的内在联系，充满着边与角、边与边、角与角互相制约及互相转化的辩证关系．因此，在平时的复习中，不能只局限于课本例题或习题，如单纯地求值、化简、证明和解方程、不等式等，必须总结和体会三角函数的意义、相互关系，理解三角函数在知识内容及解题方法上的综合性．

生丙：已知函数f（x）=loga（2-ax）在［0，1］上单调递减，则a的取值范围为________．

解答题中的f（x）是由对数函数y=logau与一次函数u=2-ax复合而来的，由于a＞0且a≠1，可知内函数u=2-ax是减函数，根据复合函数的单调性，所以外函数y=logau是增函数，因此a＞1．

生乙：还应该考虑对数函数的自变量恒大于0，也就是一次函数的值恒大于0．由于u=2-ax是减函数，所以应有2-a＞0，解得a＜2．因此1＜a＜2．

师：正确！复杂函数大多是由简单函数通过四则运算或复合过程所得的，因此解决本题必须熟练掌握对数函数、一次函数的基本概念和单调性．当然，由简而繁地处理复杂函数，还需要有一定的逻辑推理能力和数量计算技能．可见高考数学试题对基础知识的考查重在理解、掌握和灵活运用，也即与对能力的考查紧密结合在一起，而不是在识记和套用的层次上．

生丁：已知函数那么f（-2）+f（-1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=________．

我拿到此题后，就是逐一计算，发现计算量比较大．

师：本题主要考查观察、计算、探索、发现规律的能力．题目要求计算6个函数值的和，若逐个计算然后相加，则计算量比较大，也容易出错．因此应当细加观察，发现特点，总结规律，以便作出快速、准确的推断．要求的和式中，函数的自变量可分为三组，每组之和均为1，你们想到什么了？课本上有类似的问题吗？

生乙：等差数列求和，就是运用首尾配对的方法．本题可以尝试先求f（x）+f（1-x）的值，看看是否可以发现一些规律．事实上，对任意的实数x，都有所以原式=3．

师：由此可以注意到，高考对基础知识的考查是多角度、多层次的，涉及对课本知识和方法（如等差数列的配对求和）的深刻理解和灵活运用，从而也就形成对能力的考查．尤其要注意推理和计算的密切结合，本题就是先推理后计算，利用推理简化计算．所以你们在解题时，应力戒呆板、守旧和一味死算，要重视运用基本方法和算理，合理简化运算．

生甲：若正数a，b满足ab=a+b+8，则ab的取值范围是______．

解答先利用消元法，从已知等式中解出并根据a＞0，b＞0，得出a＞1，因此再利用判别式法，求出ab≥16．

生丙：可令a-1=t＞0，所以因为当t＞0时，t+所以ab≥6+10=16，当且仅当t=3时等号成立．

生丁：用导数法（过程略）．

生乙：直接应用基本不等式，由得所以得ab≥16，故ab的取值范围是［16，+∞）．

师：在ab=a+b+8（a＞0，b＞0）这个条件下，求ab的取值范围，既可以转化为解不等式（如生乙），也可以转化为求函数的值域（如生甲、生丙、生丁）．此题在考查不等式的基础知识的同时，也突出了对基本数学思想方法（如消元、换元、基本不等式的运用等）的考查，你们的求解策略都很好，不仅基础知识掌握得较好，而且能灵活运用数学思想方法．

生乙：设a≠b，解关于x的不等式a2x+b2（1-x）≥［ax+b（1-x）］2．

开始看到此题，认为比较繁琐，肯定需要分类讨论，于是就跳过去，先做后面的题，想着最后再做它．

其实，左边可化为（a2-b2）x+b2，右边可先将中括号内的整理为（a-b）x+b，再将其平方展开为（a-b）2x2+2b（a-b）x+b2，于是原不等式可化为（a-b）2x2+（a-b）（b-a）x≤0，即（a-b）2（x2-x）≤0．因为（a-b）2＞0（a≠b），所以x（x-1）≤0，解得0≤x≤1，即原不等式的解集为｛x|0≤x≤1｝．

对这道题我真的有“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”的感觉．

师：你们在平时的解题中，不要被形式所吓倒，要学会透过现象看本质，本题就是一个很好的例子．本题主要考查一元二次不等式的求解以及字母式子的变形、运算能力．所给的不等式中含字母参数a和b，起了一定的干扰作用，突出了对算理、算法的考查．解题的关键是进行正确的同解变形．其程序为：先移项，使不等式的一端变为0；再将另一端的代数式展开整理，整理时，既可以按x的幂次整理同类项，也可以按a和b整理同类项，但切忌盲目或随意变形．这些都是运算的基本方法和技能．

生丙：已知数列｛an｝，其中an=2n+3n，且数列｛an+1+λan｝为等比数列，求常数λ的值．

解答我是采用从特殊到一般的策略求解的．首先写出等比数列的前三项，再利用等比数列的概念建立关于λ的方程，然后求解．

有［22+32+λ（2+3）］［24+34+λ（23+33）］=［23+33+λ（22+32）］2，化简整理得（λ+2）（λ+3）=0，解得λ=-2或λ=-3．故λ=-2或λ=-3．

生乙：不合适吧，需要检验．你的结果仅仅使得前面三项成等比数列，然而以后各项是否都成等比数列呢？所以最后需要检验．事实上，经过检验，可知你的结论是正确的．

我是运用一般的方法解决的，直接利用等比数列的任意相邻三项建立关于λ的方程，有（an+1+λan）2=（an+2+λan+1）（an+λan-1），即［（2n+1+3n+1）+λ（2n+3n）］2=［（2n+2+3n+2）+λ（2n+1+3n+1）］［（2n+3n）+λ（2n-1+3n-1）］，整理得解得λ=-2或λ=-3．

生丁：直接对通项公式进行变形，可得an+1+λan=（λ+2）2n+（λ+3）3n，由等比数列的通项公式，知λ+2=0或λ+3=0，即λ=-2或λ=-3．

师：这题主要考查等比数列的概念、通项公式等基本知识，以及待定系数法、方程思想等基本方法．你们三位同学的思路都很好．只是生丁的求解过程欠妥，这样推理不严谨，按照高考评分标准，是要扣分的．原因是课本中没有这样的结论，所以一定要回到最基本的原理或概念中去．

最后我们总结一下，高考对数学基础的考查可以归纳为以下几个方面：

1．基础知识，即新课标高中数学课程所涉及的概念、性质、法则、公式、公理、定理等．因为数学是有严密逻辑体系的知识系统，各部分内容有机联系组成一个整体结构，所以基础知识还应该包括各个部分内容之间的联系与关系．

2．基本技能，包括按照一定的程序与步骤进行画图、运算、推理的技能．

3．基本思想方法．考查数学思想方法是高考中的一项基本要求，同时也是由数学学科的特点所决定的．高考中考查的数学方法主要有代入法、配方法、待定系数法、换元法、分析法（后一步是前一步的充分条件，推理形式为“要证……就要证……”）、综合法（后一步是前一步的必要条件，推理形式为“因为……所以……”）、反证法、归纳法、穷举法等，数学思想主要有数形结合、分类讨论、等价转化、函数与方程，还有容易被忽略，其实极其重要的公理化思想（根据定义、公理、定理、公式、法则等推理）、算法思想（寻求通用的、按一定程序执行的解法）等，这些都是基本的数学思想和方法，在解决数学问题时发挥着重要的作用．