数学绝对有用

Humphrey Liu 译

高德纳教授是斯坦福大学名誉退休教授，“算法分析之父”，若干计算机程序系统的创造者，字型设计系统Metafont的创造者，也是《计算机程序设计艺术》一书的作者——此书是计算机程序员的圣经．

高德纳教授参与了我发起的“科学中的数学”项目．以下是高德纳教授对我所问的十个问题而提供的慷慨回复．

1．描述你念书的时候数学课是怎样的？

我们这代人（在美国威斯康辛州）在二年级学乘法表，五年级学分数，九年级学代数，十年级学平面几何，十一年级学复杂算术，十二年级学立体几何．我提出的很多数学问题老师们都无法回答，所以我的大部分时间只能用于思考其他学科（英文，拉丁文，物理，化学，生物，音乐）的问题．但在我家，父亲有一台机械式加法乘法计算器，我很喜欢玩它．我花了数百小时用于画形如sqrt（x+a）-sqrt（x+b）（sqrt表示开方运算，其中a，b可以取不同的值）的函数图象，由于使用了不同颜色的铅笔，所以我可以将不同的图象画在同一张纸上．

2．你在学校学的数学对你以后的生活有用吗？

绝对有用．我在数学课上学的东西没有一个不在反复使用的．例如，几何课不仅教我如何严格地证明，也为我创造字型设计系统Metafont语言提供了想法．很多字体是用这种语言设计的，这些字体正被全世界数以百万计的人使用．

3．你心算需要有多优异才能在头脑中做计算？

我很欣慰我能记住乘法表直到12×12．不过我觉得记住更多（比如直到99×99）将浪费时间．仅仅当问题相当容易或者问题中含有符号而不仅仅是数字的时候，心算是非常重要的．当我做研究的时候，开始时我通常会使用很多草稿纸进行部分计算；而我边游泳边思考这个问题时，会获得灵感，顺利地解决它．

4．数学教导我们可以把两个事物放一起而创造一个新事物，这在你做的事情中重要吗？

复杂的结构是由简单的结构用简单的方式结合的．我认为计算机科学家能比数学家更好地明白这点，因为我们学会了如何在一台机器中表示多种数据．

5．数学是关于发现模式的．你在研究中需要寻找模式或者模式的反例吗？

是的，我觉得数学事实上是模式的科学．我日常处理的模式是一些事物之间的规律，而不是数字之间的规律．不过数值模式也非常重要，例如：

1=12，1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，等等．

13=12，13+23=（1+2）2，13+23+33=（1+2+3）2，等等．

6．数学也教导我们平衡和相等，这种观念在你的研究中有用吗？

在前面提到的字型设计系统Metafont语言中，我们通过用某些关键的点应满足的方程所画的直线来表示字母A的形状．“左干从基线开始，距离边框左边沿半个单位，直到大写字母高，左干的斜率等于右干斜率的相反数．”

7．数学帮助我们表示数量和数值测量，你工作中做这些吗？

实际上我描绘希腊字母π的程序，有两个地方使用了数3．141 59．

8．你需要精确测量事物吗？

计算机科学家必须特别仔细，因为小的错误很容易被放大，并导致灾难性后果．

9．你怎样使用统计来分析你的结果？

我的工作经常涉及比较不同的计算方法，以此确定哪一个最快．基本的统计，比如关于运行时间的最大值、平均值、中位数以及方差，这些在分析中是关键的．更大胆的说，在今天已知的大多数计算方法中，随机数和概率的概念是绝对本质性的因素．

10．你还有其他的关于数学的使用的领悟吗？

例如，当我刷牙时，我需要覆盖八个区域，分别为左和右，上和下，内和外．最有效的方式是沿着哈密顿路或者格雷码，即左上外侧，右上外侧，右上内侧，左上内侧，左下内侧，右下内侧，右下外侧，左下外侧．

高德纳教授的回答带给我很多思考，也希望能带给大家思考．