二维Hamilton系统教学的Maple辅助

江波

摘    要：二维Hamilton系统是非线性微分方程教学的重要组成部分。尝试用Maple软件辅助二维Hamilton系统教学的过程，将抽象、深奥的教学内容直观、感性地呈现给学生，以达到更好的教学效果。

关键词： 二维Hamilton系统;Maple;微分方程定性理论

中图分类号：O245;G642                  文献标识码：A             文章编号：2095-7394（2019）04-0083-04

常微分方程作为大学数学专业的基础课程之一，是理论联系实际最为紧密的课程，也是后续课程的基础[1-2]。 非线性微分方程理论是该课程的主要讲授内容，而其中源自于经典力学的有限维的Hamilton理论则是非线性微分方程教学中的重点与难点。 该部分内容的教学因其抽象性强，使得学生难以理解和接受[3]。 Maple作为目前世界上最为通用的数学软件之一，在教学与科研中得到了广泛应用[4-5]。 利用Maple强大的图形动画功能辅助各类教学，已经有一些学者做出了探索[6-8]。

为了提高常微分课程中有关二维Hamilton理论的教学质量和效率，使学生能通过可视化的演示来直观地理解其相关概念与结论，本文对如何在传统的课堂教学中应用Maple软件的编程画图功能辅助教学作一点初步的探讨。

1    预备知识

回顾二维Hamilton系统的相关概念及结论。

二维自治微分方程

定义了平面自治动力系统。

定义1  若平面自治动力系统（1）可表示成

则称（1）为二维Hamilton方程，其中二次可微函数[H（x1，x2）]称为Hamilton函数。 在应用数学或力学中，也称（1）为1个自由度的Hamilton系统（或平面Hamilton系统），[x1]和[x2]分别称为广义坐标和广义动量，[（x1，x2）]称为相平面，[H]称为能量函数。

从有限维Hamilton系统到无穷维Hamilton系统的拓展主要基于（4）。

定义2  若不恒为常数的可微函数[K（x）]对所有[x∈?n]，满足[K（x）f（x）=0]，即对微分方程[x=f（x）]的任一解[x（t）]满足[K（x（t））]为常数，则称[K（x）]为微分方程[x=f（x）]的首次积分。

3    结论

对于二维Hamilton系统中晦涩难懂的概念和定理，为了提高教学直观性与生动性，激发学生学习的兴趣和潜力，培养学生的探索能力和创新能力，我们在如何利用Maple辅助其教学上做了初步的探索。

参考文献：

[1] 丁同仁，李承治. 常微分方程教程[M].2版.北京：高等教育出版社，2004.

[2] 王鸿叶.常微分方程及Maple应用[M].北京：科学出版社，2011.

[3] GUCKENHEIMER J， HOLMES P. Nonlinear Oscillations， Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields [M]. New York：Springer-Verlag， 1983.

[4] 张晓丹， 堵秀凤， 李祥林，等. Maple 的图形动画技术[M].北京：北京航空航天大学出版社，2005.

[5] 马春庭，高萍，吴开腾，等.掌握和精通Maple[M].北京：机械工业出版社，2000.

[6] 李静， 腾兴虎. Maple软件在高等数学中的应用[J].大学数学，2014，30（S1）：95-97.

[7] 李姝敏. 数学软件Maple在常微分方程教学中的应用[J].阴山学刊，2013，27（4）： 55-57.

[8] 孔祥强. Maple在高等数学教学中的应用探索[J].钦州学院学报，2016，31（1）： 54-57.

Abstract： Two dimensional Hamilton system is an important part of nonlinear differential equation teaching. This paper expounds the process of using Maple software to assist the teaching of two-dimensional Hamilton system， presenting the abstract and profound teaching content to the students intuitively and perceptually， which can achieve better teaching effect.

Key  words： two-dimensional Hamilton system; Maple software

責任编辑    祁秀春