关于Fermat型函数方程的整函数解

段江梅，韩 艳，杨惠娟

（昭通学院数学与统计学院，云南昭通 657000）

1 引言及主要结果

在整函数环，或是亚纯函数域上的非平凡解。Hayman〔1〕证明了：

定理A当n≥9时，方程（1）不存在非常数亚纯解。

定理B当n≥7时，方程（1）不存在非常数整函数解。

此外，当2≤n≤5 时，G.G.Gundersen等〔2-3〕找到了满足方程（1）的非常数整函数解；当n=6时，G.G.Gundersen〔4〕构造了满足方程（1）的非常数亚纯解〔5-6〕。

对于n=7,8,是否存在非常数亚纯函数f(zg),(zh),(z)满足方程（1），以及对于n=6是否存在非常数整函数f(zg),(zh),(z)满足方程（1）的问题，目前还没有完全解决。

本文主要研究函数方程

1985年，Hayman研究了Fermat型函数方程

整函数解的存在性问题。对于n≥13，仇惠玲〔7〕证明了：

定理C当n≥13时，方程（2）不存在非常数整函数解。

本文对于n=12，方程（2）整函数解的存在性问题进行探究，得到结论：

定理设f1(z),f2(z),f和3(zf)4(z均)为非常数整函数，它们满足：

则存在非零常数c，使得

其中L1(fm)

2 几个引理

引理1若f(z)是C上的亚纯函数，那么对∀k∈N，f(k)(z)与f(z)的级相同〔8〕。

引理2若φj(z)(j=1,2,…,k)为区域D内k个亚纯函数，且φ1,φ2,…,φk线性无关，那么φ1,…,φk的Wronskian行列式〔9〕

引理3若f(z是)非常数亚纯函数，其级ρf＜+∞，那么对于∀ε＞0，存在E⊂(1,+∞，)使得E的对数测度有穷（即，且〔10-11〕

3 定理的证明

由于f1,f2,f3,f4是方程（3）的非常数整函数解，则一定线性无关。事实上，若线性相关，则存在不全为零的常数c1,c2,c3,c4,使得不失一般性，假设c4≠0，结合（3）式得

由（3）式可得方程组

由于

其中L1(fm)=

从而

另一方面，由克莱姆法则得

记ρ=max，由引理1知

又由（10）式及引理3知，对于∀ε＞0，存在E⊂(1,+∞)，使得且

又由（5）式知，必存在非零常数c，使得τ≡c，证毕。