基于连续2阶滑模的带碰撞角约束制导律设计

张文广， 易文俊， 管军， 袁丹丹

(南京理工大学 瞬态物理国家重点实验室， 江苏 南京 210094)

0 引言

在实施末端拦截时，不仅希望导弹能够击中目标，而且要求能以一定的姿态与目标碰撞，从而在对目标实施拦截或打击时发挥战斗部的最佳效能，以达到最佳的毁伤效果。

国内外学者针对这一问题提出了各种方法，包括自适应控制方法、最优控制方法、滑模控制方法等[1-6]，均取得了满意的制导精度。其中，研究最广泛的是最优控制方法，其思想是将具有终端碰撞角约束的问题转化为最优控制问题，经过合理简化，从而得到一个显式的制导方程。Dou等[7]针对时变系统提出了一种基于最优控制和数值分解的制导律，该方法可以使落角和脱靶量达到最优化。文献[8]提出使用拉格朗日乘子(LM)法将碰撞角约束与脱靶量约束组合起来，然后使用施瓦茨不等式的方法解决这一考虑碰撞角约束的最优问题，并且证明了通过选择合适的LM，可以获得不同的制导命令形式，继而获得不同的碰撞角。Liu等[9]提出了一种满足碰撞角约束的轨迹生成制导律，该方法基于线性二次最优控制理论，且使用统计线性化伴随方法研究所提算法的特性，通过数值仿真结果证明了轨迹生成制导律的作用下脱靶量和碰撞角误差是收敛的。以上最优控制方法需要计算剩余飞行时间，在实际中是很难实现的，于是出现了基于飞行时间预测的方法[10-12]，但是会带来因飞行时间估计灵敏度造成的制导律控制指标下降，而且此类方法要求拦截器具有高度的机动性能。

比例导引律是一种广泛使用的制导方法，基于此类方法增加一个偏置项，可以设计出满足脱靶量约束及碰撞角约束的制导律。Zhang等[13]提出了一种针对大碰撞角约束的制导律，该制导律基于偏置比例导引方法，但是剩余飞行时间的估计仍然是此制导律的重要组成环节。为了解决这一问题，Zhou等[14]提出一种自适应偏置比例导引律，其增益以一定频率进行更新，以应对目标机动等带来的扰动。但是，该制导律仅适用于打击静止目标。

滑模变结构控制方法由于在系统存在参数摄动情况下表现出不变的特性，对外界扰动具有足够的鲁棒性，而且能够处理高度非线性的问题，被广泛用于制导律设计中。Wang等[15]提出基于滑模变结构方法和最优控制方法的制导律，该制导律综合了最优控制下视线(LOS)角速率的收敛特性和滑模变结构方法的鲁棒特性。为了解决碰撞角误差的收敛时间问题，Zhao等[16]提出一种碰撞角有限时间收敛的制导律。该制导律采用终端滑模控制理论设计到达律，系统轨迹可以很快地从初始位置收敛到滑模表面。但是，滑模法会带来抖振的问题[17-18]，通常采用边界层的方法来解决这一问题[19-21]，代价是牺牲一定的控制精度。

本文根据滑模控制和自适应控制设计了一种满足碰撞角约束的制导律。采用连续2阶滑模的方法，有效地解决了抖振问题；基于超扭曲算法设计2阶滑模干扰观测器对系统的不确定项进行估计，提高了系统鲁棒性。本文所提控制律实质是基于加权比例导引法，因此避免了剩余飞行时间计算的问题。仿真结果表明，所提算法能有效地克服滑模控制中常见的抖振现象，同时能保证控制精度，以指定碰撞角完成拦截目标的任务。

1 预备概念

1.1 问题描述

导弹制导是一个三自由度控制问题，通过滚动控制方式对横向、侧向和纵向机动平面进行解耦，就能把三自由度的制导问题降阶为二维平面问题[22]。故假设导弹和目标都为质点，为简化制导问题以便于应用现有分析设计技术，假设移动速度为常值且不考虑惯性因素，则二者之间可能的寻的接触平面几何可以用图1描述。图1中M和T分别表示导弹和目标，γM和γT分别为导弹和目标的速度方位角，λ为LOS角，r为导弹和目标间的相对距离，vM和vT分别为导弹和目标的速度，aM和aT分别为导弹和目标的加速度。假设aM和aT分别正交于vM和vT，则导弹和目标的相对运动方程在极坐标系下可建立为

(1)

(2)

(3)

(4)

当LOS角速率为0 rad/s时，可以取得成功的拦截[23]，此时可以得到

vTsin(γTf-λf)=vMsin(γMf-λf)，

(5)

式中：λf为碰撞时刻的LOS角；γTf与γMf分别为目标速度方位角和导弹速度方位角在碰撞时刻的值。设θi为目标速度矢量和导弹速度矢量在拦截时刻的夹角，λ*为期望的撞断LOS角，根据θi、λ*及(5)式，可以得到以下引理。

引理1[24]对于一个带碰撞角约束的指定目标，总是存在一个独一无二的终端LOS角。因此，碰撞角的控制可转化为最终LOS角的控制。

1.2 LOS角误差运动学方程

根据(1)式和(2)式对时间求导，得

(6)

(7)

式中：aTraTsin(λ-γT)、aMraMsin(λ-γM)分别为目标加速度和导弹加速度沿LOS的值；aTλaTcos(λ-λT)和aMλaMcos(λ-γM)分别为目标和导弹的加速度正交于LOS的值。

通常，沿着导弹速度方向的加速度在终端制导阶段是不能被控制的，因此，输入信号aM和LOS角λ之间的相对2阶运动公式(见(7)式)可用于设计制导律。为了便于设计，可直接选择αMλ作为虚拟控制输入，则

aM=aMλ/cos(λ-γM).

(8)

(9)

(10)

式中：v(x0)为v(x)的初始值。

性质1[26-27]对于任意的x∈R和0<ρ<1，|x|ρsgn(x)为非平滑但连续的函数。其中，sgn(·)为sign函数。

2 满足碰撞角约束的制导律设计

2.1 干扰观测器设计

aTλ≤ε，

(11)

(12)

式中：ε和L为已知常数。

(13)

为估计aTλ，设计辅助滑模变量

s=ζ-z，

(14)

(15)

式中：u为辅助变量z的控制输入。

滑模变量s对时间求导，并将(14)式代入(15)式，得

(16)

引理3[29]考虑如下受控系统：

(17)

(18)

(19)

此时有

(20)

对于 (16) 式描述的不确定系统，基于引理3构造如下控制器：

(21)

然而，现有的各类方法大都基于白天的视频检测，对于夜间视频检测的适用性并不高。对于粒子滤波算法而言，该算法对目标的识别依赖于视频图像中的色彩直方图信息，当视频中光线不足、被识别目标和背景区分度不高时，粒子滤波方法的可靠性并不高。另外，人类视觉系统使用的HSI 色彩空间与视频色彩直方图所使用的RGB 空间不同，需要进行有效地统一。

(22)

且收敛时间满足

(23)

式中：s(0)为滑模变量s的初始值。为使s尽快收敛，可使z的初始值满足z(0)=s(0).

2.2 制导律设计

相比于线性超平面滑模控制，基于非奇异终端滑模(NTSM)的制导律可以获得更加优越的控制性能，如更高的精度、更快的收敛速度等[30]，故本文采用NTSM设计满足碰撞角约束的制导律，设计

(24)

式中：β、α为待设计参数，β>0，1<α<2.

(25)式对时间进行求导，得

(25)

超扭曲算法是一种2阶滑模算法，因其优越特性在控制中被广泛使用[31]。针对(25)式构造超扭曲算法，进而导出一种具有连续特性的制导律。

引理4[31]考虑如下超扭曲算法：

(26)

式中：x1、x2为状态变量；k1、k2为待设计参数。则该算法是有限时间收敛的。

引理4的证明可参考文献[32]。

令x1=s1，为构造如 (26) 式所示的超扭曲算法，设计制导律[5]为

(27)

(28)

式中：设计参数满足k3>0，k4>0，γ>2；u是(22)式对不确定项aTλ的估计。

将(27)式代入(25)式，得到

(29)

则

(30)

注意1由于(27)式的前两项可以被重写为

(31)

注意2根据性质1，本文所提出的制导律(27)式是连续的，因此能有效地避免抖振问题。

3 稳定性分析

由(23)式可知，(17)式将会在有限时间tr1时刻收敛，且 (17) 式在ttr1时(29)式可转化为

(32)

引入一个新的状态矢量[31]，

(33)

ξ对时间求导，得

(34)

(35)

由于k3>0，k4>0，β>0，1<α<2，γ>2，容易证明A是赫尔维兹矩阵，故存在唯一的矩阵P=PT， 且P为下列代数李雅普诺夫方程的解

ATP+PA=-Q,

(36)

式中：Q=QT>0.

对于(34)式的稳定性分析，考虑如下候选Lyapunuov函数：

V2=ξTPξ.

(37)

对(37)式进行时间求导，并把(33)式、(34)式及(35)式代入，得到

(38)

(39)

(40)

(41)

一旦到达滑模面，从(24)式得出

(42)

可以容易证得系统(42)式是有限时间稳定的[30]。

综上所述，系统(33)式是稳定的。

4 仿真研究

为验证所提算法的有效性，以实际的地对空导弹为研究对象[33]，进行数值仿真。因为所提算法针对二维拦截几何设计，所以在此考虑纵向拦截平面的情况。

假设一个质点从平台上飞过，不考虑地球的旋转，则质点的运动学公式为

(43)

(44)

式中：T和D为作用在质点(拦截器)上的推力和阻力；g为重力加速度；xM和yM为拦截器位置。气动阻力D可以建模为

(45)

(46)

式中：D0和Di分别为零升阻力和诱导阻力；CD0、K、Ar、e1、ρ、S和Q1分别为零升阻力系数、诱导阻力系数、展弦比、效率因数、大气密度、特征面积、动压；m为拦截器质量。零升阻力系数和诱导阻力系数可以定义为

(47)

(48)

式中：Ma为马赫数，

(49)

RC为干空气气体常数，Tp表示海拔高度yM处的气温，

(50)

推力T随时间变化的取值范围为

(51)

拦截器质量随时间的变化情况为

(52)

式中：t为飞行时间(s)。

大气密度ρ为海拔高度yM的函数，

(53)

特征面积S假设为1 m2.

考虑拦截器带有1阶加速度滞后时间τ：

(54)

式中：aC为侧向加速度控制输入信号，假设滞后时间τ为0.1 s.

为便于研究拦截器的飞行弹道和主要飞行特性，假设拦截器在整个飞行期间的任一瞬时都处于平衡状态，则“瞬时平衡”下的攻角可定义为

(55)

cyαi为升力系数对攻角的导数。

末制导的初始条件为r=14 142，λ=45°，γM=45°，γT=180°，vM=500 m/s，vT=200 m/s，并设置如下4种情况对所提制导律进行验证。

1) 目标以图2的加速度形式进行机动，期望的终端LOS角λ*分别为0°、40°、80°、100°.

2) 目标以周期波形机动，即aT=60sin(0.3t)m/s2，期望的终端LOS角λ*分别为0°、40°、80°、100°.

3) 为了验证本文算法的优越性，设置对比试验，即与标准NTSM进行对比。标准NTSM的制导律可以设计为

式中：参数α、β的设置同前；k5可设置为500. 数值仿真的初始条件不变，目标作圆形机动，即aT=20 m/s2，λ*=80.

4) 为验证滑模观测器对噪声的适应能力，考虑LOS角存在测量噪声的情形，且目标以周期波形机动。

制导律参数设置为β=1，α=1.1，k1=600，k2=500，γ=2.1. 情况1下仿真结果如图3所示。由图3可见：情况1下导弹均能以指定LOS角完成拦截任务(见图3(a)、图3(d))，能较好地估计不确定项(见图3(g))，仅在不确定项发生突变时有较大估计误差，但能很快地收敛；根据图3(b)可知，导弹加速度指令较为平滑，且滑模变量s1也没有发生抖振现象。攻角在-10°～17°内平滑变化如图3(h)所示。由表1可知，不同碰撞角约束下LOS角误差均能收敛到很小的数值，且脱靶量较小。同样地，情况2条件下，导弹均能以指定LOS角完成拦截任务(见图4(a)、图4(d))，能很好地估计不确定项(见图4(g))，导弹加速度指令平滑，滑模变量无抖振。由图4(h)可知，攻角在-5°～15°内平滑变化。由表2可知，目标做波形机动下本文所提算法依然能保证较小的脱靶量和LOS角误差。情况3下仿真结果如图5所示，虽然NTSM能以完成目标拦截(见图5(a))，但从图5(b)可以看出，NTSM下导弹加速度指令在制导末时刻发生剧烈的震荡现象，这对控制是不利的，因为实际中的强抖振能激发其他未建模的非线性特性，会导致误差无法收敛，且存在相当大的LOS角误差；由于侧向加速度存在强烈抖振，这也在攻角上表现出来(见图5(e))，显然这对导弹的控制系统是不利的；而本文所提控制律能够以平滑的加速度指令完成带终端碰撞角约束的拦截任务。情况4仿真结果如图6所示，当LOS角存在高斯白噪声(见图6(c))时，2阶滑模干扰观测器仍能较好地估计目标加速度(见图6(d))。由于LOS角测量噪声的影响，会在估计值上产生毛刺现象，但根据图6(b)可知，导弹加速度指令依然较为平滑，且仍可完成拦截任务(见图6(a))。由此可知，本文设计的2阶滑模干扰观测器对LOS角的测量噪声有一定的适应能力。

表1 情况1下制导仿真结果统计

表2 情况2下制导仿真结果统计

5 结论

本文基于2阶连续滑模法设计了一种满足终端碰撞角约束的制导律，并采用基于超扭曲算法的2阶滑模干扰观测器对不确定项进行估计。仿真结果表明，所提算法能有效地克服滑模控制中常见的抖振现象，同时能保证控制精度，以指定碰撞角完成拦截目标的任务。