Kalman滤波算法在遥测伺服系统中的应用

李宏伟 陈海建 汪 洋

（1.中国人民解放军92941部队，辽宁葫芦岛125000；2.海军驻北京地区舰空导弹系统军事代表室，北京100039）

关键字 Kalman滤波 机动目标 “当前”统计模型 伺服系统

1 引 言

雷达和无线电角跟踪系统中，为提高系统无差度、减小滞后误差，通常引入机动目标角速度、角加速度信号，实现前馈复合控制，而目标机动过程中，通常无法准确预知目标下一时刻运动状态，解决这个问题的办法之一是发展合适的目标运动模型，通过卡尔曼滤波算法对目标运动参数及运动状态进行估计和预测［1-3］。

目前常用的目标机动模型主要有：匀速模型、匀加速模型、Signer模型和均值自适应的“当前”统计模型［4，5］。匀速模型和匀加速模型是目标运动模型中最基本的两种模型，Signer模型把机动加速度描述成一个零均值的一阶马尔可夫过程，“当前”统计模型则将Signer模型中加速度零均值改进为自适应的加速度均值，使得跟踪精度和性能得到较大提高，得到极为广泛的应用［6-9］。

本文论述了一种自适应Kalman滤波器，采用机动目标均值自适应的“当前”统计模型，构造角位置角速度二阶观测器，实现机动目标Kalman滤波算法。

2 基于“当前”统计模型的自适应Kalman滤波

“当前”统计模型的意义是，在每一种具体的战术场合，人们所关心的仅是机动加速度的“当前”概率密度，即目标机动的当前可能性，当前目标现时正以某一加速度机动时，它在下一瞬时的加速度取值范围是有限的，而且只能在“当前”加速度的领域内。考虑非零加速度均值，一维情况下的状态方程为［10，11］：

设采样周期为T，通过经典的离散处理方法，可以得到下列离散状态方程及量测方程：

其中，

式中：Φ（k+1，k）——状态转移矩阵；V（k）——角位置传感器输出噪声；Q（k）——模型误差协方差阵。

有：

其中，

对于状态方程和量测方程，可以构造关于状态向量X（k）的卡尔曼滤波估计器如下：

那么，一步预测方程（17）可以写为如下形式：

但是要注意的是，一步预测均方误差方程（19）中的 Φ（k，k-1）不变。

利用上述关系，可以得到机动加速度方差算法，当“当前”加速度为正时，有：

当“当前”加速度为负时，有：

遥测伺服系统中，缺乏距离量测量，遥测接收机只能提供目标与电轴之间的角度偏差量，无法给出目标在遥测天线坐标系中的信息，可以通过将天线角位置传感器测得的天线角位置信息与接收机角误差相加得到目标在遥测天线坐标系中的角位置信息，即y=θ+Δθ，式中θ为角位置传感器量测的角位置信息，Δθ为接收机输出角误差信息。

3 提高跟踪精度

机动目标跟踪过程中，总是希望对机动目标角速度、角加速度有较高的估计精度，这就要求Kalman滤波器有良好的动态性能。在时域内考虑连续系统的卡尔曼滤波问题，目标状态方程为：

卡尔曼滤波状态估计方程可写为：

式中：K（t）——卡尔曼增益矩阵。

当卡尔曼滤波器达到稳定状态时，K（t）将趋近于一常数阵K，进行拉普拉斯变换，并设初始状态为零，有：

采用机动目标“当前”统计模型自适应算法，状态估计方程为：

其中，

动态部分传递函数为：

通过方程比较发现传递函数的分母多项式中，s的幂都是3，但方程分子多项式却增加了一次幂，这意味着速度量测量的引入相当于分别在关于位置、速度和加速度的传递函数中增加了一个零点，使得跟踪滤波器的带宽增大，动态误差减小，提高了滤波器跟踪精度。

4 滤波器的稳定性

根据以上分析，遥测伺服系统中依据机动目标“当前”统计模型构造二阶观测器设计的Kalman滤波器，其离散状态方程、量测方程为：

其中，Φ（k+1，k）如式（5），U（k）如式（6），H（k）如式（34）。

计算Kalman滤波器离散状态方程能控矩阵、能观矩阵

系统是能控能观系统，则基于“当前”统计模型的卡尔曼滤波算法是一致渐进稳定的，因此实验过程中可以首先通过仿真结果给定目标状态矩阵和验后误差协方差矩阵初始值X0、P0。

5 实验结果

在某项目中进行了实验验证工作，以遥测伺服系统天控器为平台，在天控器中，利用嵌入式数字处理器完成自适应Kalman滤波算法，将实验数据从数字处理器上报至上位机。采样周期T=0.01s，，状态矩阵初始值X0为进入Kalman滤波算法时量测角位置和量测角速度值。通过Matlab绘制Kalman滤波算法估计得到的角位置、角速度、角加速度曲线分别如图1至图8所示，系统运行过程中Kalman滤波算法稳定不发散，获得了平稳的角位置、角速度及角加速度数据。

图1 目标飞行时间20s～100s方位角位置量测与估计曲线Fig.1 Azimuth position measurement and estimation curve of target flight time from 20s to 100s

图2 目标飞行时间39s～43.5s方位角位置量测与估计曲线Fig.2 Azimuth position measurement and estimation curve of target flight time 39s to 43.5s

图3 目标飞行时间20s～100s方位角速度量测与估计曲线Fig.3 Azimuth velocity measurement and estimation curve of target flight time from 20s to 100s

图4 目标飞行时间20s～100s方位角加速度估计曲线Fig.4 Azimuth acceleration estimation curve of target flight time from 20s to 100s

图5 目标飞行时间20s～100s俯仰角位置量测与估计曲线Fig.5 Pitch angle position measurement and estimation curve of target flight time from 20s to 100s

图6 目标飞行时间41.5s～45s俯仰角位置量测与估计曲线Fig.6 Pitch angle position measurement and estimation curve of target flight time from 41.5s to 45s

图7 目标飞行时间20s～100s俯仰角速度量测与估计曲线Fig.7 Pitch angular velocity measurement and estimation curve of target flight time from 20s to 100s

图8 目标飞行时间20s～100s俯仰角加速度估计曲线Fig.8 Pitch angle acceleration estimation curve of target flight time from 20s to 100s

6 结束语

雷达和无线电角跟踪系统目标机动过程中，通常无法准确预知目标下一时刻运动状态，本文针对这一问题进行了研究，根据机动目标基于“当前”统计模型，利用角位置和角速度信息构造二阶观测器，实现了机动目标Kalman滤波算法，通过理论分析和实验验证了本系统中Kalman滤波器的稳定性，文章最后给出了在遥测伺服系统中Kalman滤波器的实验结果，表明了该滤波器的有效性和可靠性。