标量中立型系统稳定的充要条件

林卫铭，吴泽君，郭 静

（1.广东今程光一电力科技有限责任公司，广东佛山528000；2.佛山科学技术学院自动化学院，广东佛山528000）

时滞现象在控制对象中广泛存在，如文献[1]提出的电路系统，不仅存在状态时滞反馈，而且其时延导数反馈到系统前端，这类系统（又称为中立型系统）由于应用背景广泛，一直深受众多研究者的关注[2]。中立型系统分析方法主要有以下两类。

（1）是特征方程根在复平面上位置的判断[3-4]，这类方法能够解决系统稳定的本质问题。

（2）是基于计算机数值分析工具的Lyapunov-Krasovisky稳定性分析法[5-6]，这类方法的优点是利用数值计算平台可方便确定某一保证系统稳定时滞上界，但缺点是，所得到的结论是一充分条件，因此常常是保守的。若依此设计稳定控制器，代价常常是不经济的。

本文在文献[7-8]的基础上，采用基于频率的稳定性理论，将结果推广到中立型系统，获取系统稳定的充分必要条件。指出了文献[7-8]的结果是本文的一个特例，研究结论是一致的。文末给出的数值例子解释了方法的应用，并给出了仿真结果。

1 标量中立型系统稳定的充要条件

1.1 时滞无关稳定性

考虑标量时滞系统稳定性

其中，x（t）（t≥0）为系统的状态；a，b∈R 为实常数；h≥τi＞0（i=1，2）为系统的时滞；h 为系统可能的最大时滞。设上述各系统在t∈[-h，0]的状态是确定的（可以是未知的）。

1.2 相关定理及证明

引理1设

标量中立型系统（1）稳定的充要条件是

证明 定义曲线L和圆C分别为

于是引理1等价于L与C在复平面上无交点，结果如图1所示。

图1 复平面上的曲线L与单位圆C

根据图1可知，曲线L可表示为

或

其中，

引理1不成立的条件是方程

关于ω有解。其中k为整数。

将式（8）代入式（10）有

若 b2-a2＜0，则式（11）无解。

于是有下面系统全时滞稳定的结论。

以下讨论定理1不满足条件下，即b＜a时系统的时滞相关稳定性问题。

注1对于b＞0的情形，若系统稳定，则必然是全时滞稳定的。这是因为τ=0时系统必须稳定，意含a+b＜0。

取

定理2系统（1）稳定的充要条件是

其中，h满足式（14）。

证明 当式（15）成立时，式（10）无解，从而引理1成立，故系统是稳定的。

推论 设c=0，则时滞系统稳定的条件是

证明 由式（14）可知，k=1时，h取极小值，注意到c=0时有ω0=及α的定义，得到其几何表示如图2所示。

图2 定理2证明辅助说明

结合式（9）有

将式（17）代入式（13），得式（16），证毕。

注2注意到本文中α的定义与文献[7-8]中θ的定义，二者的余弦仅符号相反，故有π-α=θ，故结论是一致的。

例1 考虑下列系统的稳定性，由式（18）可知，a=-1，b=-1.41，c=0.5。于是有

解 通过计算可得ω0=1.147 8，θ=-1.900 9。取k=0，得。

该系统仿真结构如图3所示，仿真曲线如图4所示。

图3 仿真结构

图4 数值例子仿真结果

2 小结

运用频率方法和复变函数理论，得到了一维中立型系统稳定的充分必要条件，指出了线性时滞系统是本文的一个特例。本文关于这种情形下的结论与以往文献的结果比较表明，结果是一致的。本文结论的证明过程简洁，表达形式是显示的，适合工程应用。将结论推广到多维关联系统是需要进一步研究的课题。