基于Hilbert变换模拟弹丸转速信号的瞬时频率分析

王 欢，裴东兴，陈昌鑫，于文松

(1.中北大学 电子测试技术重点实验室，山西 太原 030051；2.兵器第247厂，山西 太原 030051)

目前，对于测试旋转弹丸转速的方法有很多，但是对于高速旋转弹转速的测试仍有许多方面的不足[1]。已知的加速度计法测转速,其转速测试系统非常繁琐；太阳方位角传感器法受到天气因素的制约；高速摄影法对于弹丸飞行过程中的烟雾区测试误差较大，只适合应用于炮口参数的测试，不适合对弹丸飞行全程进行测试；陀螺仪法虽然应用范围较广，但是成本低的火箭弹等弹丸其测试费用较昂贵，且所用陀螺仪的精度和动态范围达不到高速旋转弹的测试要求；磁通门式地磁姿态法的磁通门传感器因受到弹丸本身磁场干扰使在测试校准时变得复杂[2]。

综合各测试方法的不足之处，考虑满足高速旋转弹的测试要求(具有能承受高压、高振动、超高温、超低温、高冲击等恶劣环境的低功耗、微体积测试系统)，笔者结合基于薄膜线圈式地磁传感器的转速测试系统获取某型号弹丸的转速信号。同时，简单分析基于薄膜线圈式地磁传感器转速测试理论，提取弹丸转速信号特点，构造一个与实测转速信号频率相近的模拟弹丸转速信号，并对此模拟转速信号利用Hilbert变换组成的复信号进一步得出模拟弹丸转速信号对应的瞬时频率曲线。对于瞬时频率曲线出现的端点效应，采用对模拟弹丸转速信号延拓的方法，减少端点处瞬时频率的误差。对模拟转速信号瞬时频率的求解将为实测弹丸转速信号的瞬时频率分析提供有力帮助。

1 薄膜线圈式地磁传感器转速测试理论

地磁场中约95%的磁场为基本磁场，来自固体地球内部，非常稳定；其余的变化磁场大部分来自固体地球外部，且比较微弱[3]。从测试系统角度来说，只考虑基本磁场对薄膜线圈式地磁传感器的影响。结合磁场理论，本实验室将自主研发的薄膜线圈式地磁传感器应用于弹丸转速的测试系统中。该传感器成本低、精度高、灵敏度高、结构简单、体积小、抗过载抗冲击能力强、工作稳定、可靠性高且测试转速范围广[4]。薄膜线圈式地磁传感器易于贴附在弹丸内部，其实物图如图1所示。

基于线圈式地磁传感器测试系统可以通过内部的地磁传感器检测弹丸飞行过程中地磁场的变化。弹丸在高速旋转过程中切割磁感线，引起地磁传感器磁通量的变化，进而得到周期性交替变化的感应电动势。电动势的变化体现了弹丸转速的变化情况。弹丸在运转过程中，内部地磁传感器工作原理的示意图如图2所示[5]。

对图2进行如下假设：

1)地球磁场在地面附近为均匀磁场，其磁感应强度为B，B的方向平行于图中的Oy轴，方向向右。

2)地磁传感器的线圈平面法线与弹丸中心轴垂直。

3)地磁传感器贴附在弹丸内部，与弹丸具有相同的角速度ω。

根据电磁感应定律，飞行的弹丸在磁场中旋转，切割磁感线产生的磁通量为

(1)

产生的感应电动势为

(2)

令Em=N·B·S·ω，Em为线圈平面与磁场方向平行时的感应电动势，则：

(3)

式中：N为线圈匝数；B为磁感应强度；S为线圈面积；ω为弹丸角速度；α为弹丸中心轴在xOy面投影与Oy轴的夹角；θ为弹丸中心轴与xOy面的夹角。

弹丸在飞行过程中产生感应电动势，感应电动势周期即弹丸的旋转周期，通过旋转周期可得到弹丸转速。

2 Hilbert算法的介绍

(4)

式中：H{x}表示对x(t)的Hilbert变换；h(t)=1/(πt) 。

Hilbert变换的频率响应是依据傅立叶变换得出的，其频率响应公式为

(5)

式中：F表示傅里叶变换； j是虚数单位；

由上式分析，Hilbert变换在频域里频率分量的幅度不变，但相位出现了90°相移。

3 瞬时频率

从1937年至1948年，Carson和Ville等人先后提出了瞬时频率的定义，即[7]：

(6)

式中，φ(t)是时间t的单值函数，即频率上的单分量信号。

1946年Gabor提出解析信号的定义，即：

(7)

1)瞬时频率乘上密度函数在整个时间轴上的积分是信号的平均频率。

2)对式(7)中z(t)求傅立叶变换得

(8)

4 模拟弹丸转速信号的瞬时频率求解

将基于线圈式地磁传感器测试系统应用于实际弹丸的测试中，测出某型号弹丸的全弹道转速，并提取一部分实测数据进行展开，如图3所示。

随着弹丸在空中高速旋转直至落地，弹丸的转速呈周期性交替变化，且转速的变化是由快到慢，也即弹丸的瞬时频率逐渐减小。根据这一特点构建与实测信号频率相近的模拟弹丸转速信号，令模拟弹丸转速信号为

(9)

此模拟信号的特点是随着时间增加，模拟弹丸转速信号的周期性变化由快到慢。将此信号做Hilbert变换，变换后的复信号取其瞬时频率，即得到模拟弹丸转速信号的瞬时频率曲线。取模拟信号的前1 s进行观察，如图4所示。图4(a)中模拟弹丸转速信号曲线由密到疏，图4(b)中模拟弹丸转速信号的瞬时频率曲线呈衰减趋势，即模拟信号在转速上符合实际情况的运动规律。

由于1 s的模拟信号频率较高且图线较密，所以取前300 ms的模拟信号做进一步分析，如图5所示。

图5(b)中，0 ms附近与300 ms附近有急剧陡峭信号，是由于模拟转速信号突然开始与突然终止产生的，不影响对整段信号的分析。在0—60 ms、240—300 ms之间瞬时频率有轻微的波动，属于Hilbert变换后信号的端点效应，分别在0—60 ms与240—300 ms之间做一条瞬时频率变化趋势的拟合直线，如图5(b)中虚线b所示。

取模拟弹丸转速信号的前两个周期(0—8 ms)与后两个周期(289—300 ms)进行分析。瞬时频率曲线的衰减趋势是符合转速变化越来越慢的趋势。图5(a)中前两个周期(0—8 ms)信号的一个周期为4 ms，其频率值为250 Hz，结合图5(b)的拟合虚线左侧端点值在250 Hz附近，且0—8 ms的瞬时频率值在250 Hz附近呈递减趋势，符合频率衰减要求且瞬时频率值比较准确；图5(a)中后两个周期(289—300 ms)信号的一个周期为5.5 ms，其频率值为182 Hz，结合图5(b)的拟合虚线右侧端点值在180 Hz附近，且289—300 ms的瞬时频率值在180 Hz附近呈递减趋势，符合频率衰减要求且瞬时频率值比较准确。通过上述分析证明了求解模拟弹丸转速信号瞬时频率值的可行性与准确性。

5 瞬时频率的端点效应处理与分析

5.1 瞬时频率曲线端点效应处理

图5(b)中模拟转速信号Hilbert变换组成的复信号进一步求解的瞬时频率信号出现了端点效应，对端点效应的理论解释是连续信号到离散信号需要进行采样，由于有无穷多项，采样率对于高频的部分难以满足Nyquist采样定理，因此会出现失真，即端点效应多出现在信号的高频部分。

对于模拟弹丸转速的瞬时频率信号端点效应的处理采用了信号延拓的方法，即对模拟弹丸转速信号前后各延展10 ms，延拓后模拟弹丸转速信号曲线与瞬时频率曲线如图6所示。

5.2 延拓后模拟弹丸转速信号的瞬时频率分析

在图6(b)中，0 ms与300 ms附近的瞬时频率波动明显减弱，相比于图5(b)中0 ms与300 ms附近的瞬时频率曲线平滑很多，误差明显减小，可见其延拓方法的有效性。在图6中，取延拓后模拟弹丸转速信号的前两个周期(0—8 ms)与后两个周期(289—300 ms)进行分析。瞬时频率曲线的衰减趋势是符合转速变化越来越慢的趋势。图6(a)中前两个周期(0—8 ms)信号的一个周期为4 ms，其频率值为250 Hz，结合图6(b),0 ms处瞬时频率值在250 Hz附近，且0—8 ms的瞬时频率值在250 Hz附近呈递减趋势，符合频率衰减要求且瞬时频率值波动非常小；图6(a)中后两个周期(289—300 ms)信号的一个周期为5.5 ms，其频率值为182 Hz，图6(b)中300 ms处瞬时频率值在180 Hz附近，且289—300 ms的瞬时频率值在180 Hz附近呈递减趋势，符合频率衰减要求且瞬时频率值波动非常小，达到更准确的效果。

通过上述分析，延拓法只会使所求解的曲线更准确，将波动的信号变得更平滑，而不会影响所求解曲线的数值，证明了延拓后对于模拟弹丸转速信号瞬时频率值求解的可行性与准确性。

6 结束语

笔者简单阐述了基于薄膜线圈式地磁传感器转速测试理论、Hilbert算法及瞬时频率的应用。依据实测弹丸转速信号特点，构造了一个频率相近的模拟弹丸转速信号，并求解此模拟信号在0～300 ms时间段内的弹丸瞬时频率曲线。对于瞬时频率曲线出现的端点效应，采用了对模拟弹丸转速信号延拓的方法。经分析，所得模拟弹丸转速的瞬时频率曲线与对瞬时频率的估计值基本相吻合，且延拓后的瞬时频率值比延拓前的瞬时频率值更准确。基于Hilbert变换模拟转速信号瞬时频率的求解将为实测弹丸转速信号的瞬时频率分析提供有力帮助。