基于梯度下降法的离散概率空间区域射击瞄准点求解方法

贾正荣， 王航宇， 卢发兴

(海军工程大学 兵器工程学院， 湖北 武汉 430033)

0 引言

区域射击方法能够优化求解多武器协同攻击时的射击方案[1]，该方法通过综合考虑射击时的目标散布、武器射击偏差、武器搜捕范围(针对末制导搜索武器，如反舰导弹、巡飞弹、无人艇、无人机等无人作战平台)，优化求解射击瞄准点配置，以提高射击方案的毁伤概率或捕获概率。其中，射击瞄准点的求解对于区域射击方案至关重要，更优的射击瞄准点配置意味着达到预定毁伤概率或预定捕获概率所需的武器数量更少。

目前，求解区域射击瞄准点的方法主要有两种。第一种是几何法：如文献[2]研究了多枚反舰导弹打击机动目标的射击方法，通过考虑目标初始散布与机动范围，给出了使导弹捕获概率大于一定值的射击前置点区域，在该区域内进行了反舰导弹瞄准点配置；文献[3]研究了多枚导弹区域覆盖平行搜索问题，考虑了多种情况的目标初始散布与机动可能性，通过将目标初始散布与目标机动合成，给出了综合后的目标散布区域，并根据该区域大小调整多枚导弹各自相对于目标散布中心的偏移量，以提高捕获概率，类似的研究还包括文献[4-5]等。第二种是函数逼近法：如文献[1]研究了末制导搜索武器对散布服从正态分布的目标区域射击问题，通过变分方法求解得到了解析形式的最优中间函数，最优中间函数反映了瞄准点配置的理论最优值，并以此为依据建立了实际瞄准点的中间函数与最优中间函数的差值范数指标，通过数值逼近方法优化该指标，求解得到最优瞄准点配置；文献[6]采用与文献[1]相似的思路，求解了目标散布服从均匀分布的区域射击问题。在这两种方法中，几何法求解效率较高，但是优化程度较低；函数逼近法优化程度较高，但是计算量大，耗时较长。

现有研究虽然在求解方法上有所不同，但是求解的核心思路都是一致的，即优化过程与目标分布情况强相关，且都采用等间隔的瞄准点配置方法，所有射击瞄准点关于目标散布中心等间隔的配置。该方法的优点是优化参数少，便于求解。但是也存在一定的局限性：首先，现有研究主要针对目标散布服从正态分布与均匀分布两种情况给出了对应的最优中间函数，进而给出瞄准点配置求解方法，其最优中间函数与目标分布的形式强相关，对于新的目标分布情况，需要重新进行理论推导，而实际作战中，根据情报的完备程度，指挥员可能人为设定目标的分布情况[7-8]，而人为设定的目标分布可能难以通过解析函数表示，即使可以用解析函数表示，也难以直接通过变分分析优化求解；其次，随着武器的信息化、智能化水平提升[9]，在攻击过程中后续武器能够接收之前武器回传的目标信息，若目标初始(先验)分布为规则的正态分布或均匀分布，则考虑回传信息的更新后(后验)目标分布也不可能是规则的分布[10-12]；最后，当采用异类武器进行区域射击时，异类武器的搜捕范围不同，此时若继续采用等间隔的瞄准点配置，就会牺牲高性能武器的优势。简而言之，现有方法存在的主要问题是由于优化求解过程与目标分布形式强相关，并采用了等间隔的瞄准点配置，从而无法应对多变复杂的目标散布情况，特别是目标服从不规则概率分布的情况。

因此，为增强区域射击方法的适用性，解决目标分布不规则条件下的区域射击瞄准点求解问题，本文提出基于梯度下降法的离散概率空间区域射击瞄准点求解方法。通过在离散空间内描述目标的分布概率，从而适应不规则的目标分布情况[13-14]，之后通过变分方法求解离散空间内的最优中间函数[15]，以实际中间函数与最优中间函数的差值范数作为优化指标，给出解析形式的指标梯度，并构建基于梯度下降法的射击点位置求解模型[16-18]，最终实现对目标不规则分布的非等间隔瞄准点求解。

1 离散空间区域射击毁伤概率模型

设f(x)是连续空间内目标分布的概率密度函数，有

(1)

为精确反映目标的概率分布，同时考虑计算的可行性，将坐标空间等间隔离散化，间隔记为Δx，如图1所示(图1中F(x)为离散空间概率密度)。从而得到离散空间内给出目标的分布概率密度F(xj)，有

(2)

式中：xj为离散概率空间中第j个点的目标位置；Φ为离散概率空间点的集合。

另外，由于连续空间内的概率密度定义域可能为(-∞,∞)，而Φ只能取有限个点，为保证充分覆盖目标散布区域，设α为允许误差，有

(3)

同时，记M(Φ)为离散空间Φ的范围，即Φ内坐标最大值与坐标最小值的差值，

M(Φ)=max{xj}-min{xj}.

(4)

与文献[1]类似，可以得到离散空间内的目标毁伤概率为

(5)

式中：m为瞄准点数量；ni为每个瞄准点上分配的武器数量；Q为武器捕获目标后毁伤目标的概率，与突防概率、毁伤能力有关，文中取定值；P(xj-xi)为目标位置为xj、瞄准点为xi时的条件捕获概率函数，

(6)

其中Ex1为武器的自控终点散布误差，ρ为常数0.476 936，B为武器搜索半宽。

由于在离散空间内通过F(xj)描述目标分布情况，从而可以灵活地表示目标的各种分布。

2 最优中间函数求解

文献[1，6]分别在目标正态分布与均匀分布的条件下引入中间函数，并通过变分法求解得到最优中间函数，为区域射击的瞄准点配置求解提供了极大的便利。然而，现有研究的最优中间函数与目标分布情况强相关，对于新的目标分布情况(即不是正态分布或均匀分布的情况)，则需要重新进行理论推导。因此，这里基于文献[1，6]的方法，给出适用于离散目标分布的最优中间函数求解方法，方法流程固定，结果仅与离散目标分布的具体取值有关，从而可以适用于不规则的目标离散概率分布情况。

最优中间函数Uo(x)是中间函数U(x,xi)在给定目标分布条件下的理论最优函数，与具体的瞄准点配置xi无关，并且有较好的解析形式。虽然Uo(x)无法通过有限个瞄准点配置达到，但是可以将最优中间函数与实际中间函数的差值范数作为指标，使实际中间函数逼近最优中间函数，从而优化求解瞄准点配置。

实际中间函数U(x)(这里省略了参数xi)可描述为

(7)

U(x)具有两个性质

U(x)≥0，

(8)

(9)

在离散空间内，(9)式可变为

(10)

文献[1，6]分别在连续空间内求解了目标正态分布与均匀分布情况下的最优中间函数。连续空间内的Uo(x)与f(x)强相关，因此当f(x)形式复杂时，求解Uo(x)将十分困难。

这里通过变分方法求解离散空间内的最优中间函数。

考虑到x∉Φ时有F(x)=0，因此在(5)式中代入U(x)后，PK可以写为

(11)

结合(9)式，可以得到基于变分法构建指标函数为

H=F(x)exp[-U(x)]+λU(x),

(12)

式中：λ为变分求解条件极值过程中的拉格朗日乘子。

H的极值满足(13)式，即欧拉方程，此时中间函数取最优值Uo(x)，即

(13)

式中：Ux为中间函数U(x)对x的导数。从而解得

Uo(x)=lnF(x)-lnλ.

(14)

Uo(x)同时应当满足(8)式与(9)式。为方便分析，引入有效区间Ω，在有效空间内最优中间函数取值有效，即

Ω={x|Uo(x)>0}.

(15)

令最优中间函数在Ω外取0，即

Uo(x)=0,x∉Ω，

(16)

从而可以通过(10)式与(14)式解出Uo(x)，有

(17)

满足(17)式的Uo(x)有无限多个，然而，根据区域射击问题的具体情况，区间Ω的范围‖Ω‖应当尽可能大，这样在Ω内Uo(x)的极值Uo(x)就会尽可能小，从而利于实际瞄准点配置。

因此，求解最优中间函数Uo(x)的问题变为求解最大‖Ω‖的问题，这里引入概率阈值Fp进行求解。

取Fp定义域为

(18)

以Fp为阈值对F(xj)进行划分，取Ω为

Ω={x|F(xj)≥Fp}.

(19)

对于任意Fp，可以根据(19)式得到有效区间Ω，之后根据(17)式解得λ. 得到λ后，还需要判断是否有

Uo(x)=lnF(x)-lnλ≥0.

(20)

因此，需要优化求解Fp，使Fp尽可能小，并且满足(20)式，从而增大Ω的范围。求解可以采用二分法、线性搜索方法、黄金分割搜索方法等。求解得到Fp后，就可以解出Ω、λ，进而根据(14)式得到离散形式的最优中间函数Uo(x).

3 射击瞄准点初值求解

采用梯度下降法进行瞄准点位置的求解，首先需要给定瞄准点初值。然而，目标概率密度函数可能在某些位置是间断的，或者在某些位置取值明显较低，如图2所示。

对于这种情况，最终求解得到的有效区间由多个间断的区间组成(见图3)；同时需要按照一定的原则将武器分配到各个子区间内，在每个连通的子区间内根据分配的武器数量分别求解瞄准点初值。

3.1 间断区间的瞄准点数量分配

设有效区间Ω由k个互不相交且内部连通的子区间Ωk组成，即

(21)

将m个瞄准点分配至每个子区间，对应第k个有效子区间的瞄准点数量为mk. 进行瞄准点求解可以类比为用mk个瞄准点“填补”子区间Ωk内的函数包络，每个瞄准点对应的中间函数值具有一定的宽度及面积，为了充分“填补”，需要将总数为m的瞄准点数量根据每个子区间Ωk的宽度和面积分配至对应区间。因此，可以从两种角度出发进行瞄准点数量分配；一是基于Ωk内最优中间函数积分(面积)的瞄准点数量分配；二是基于区间测度(宽度)的瞄准点数量分配。

3.1.1 基于最优中间函数积分的瞄准点数量分配

求取每个子区间Ωk内的最优中间函数积分，记为Gk，有

(22)

(23)

3.1.2 基于区间测度的瞄准点数量分配

求取每个子区间Ωk的测度，即长度，记为Mk，有

(24)

(25)

在实际求解过程中，可以同时采用两种方法求解间断区间内的瞄准点数量，然后求解瞄准点配置，选取理论毁伤概率高的瞄准点配置作为结果。

3.2 连通区间内的瞄准点初值求解

根据有效子区间Ωk的性质，以及单个瞄准点的实际中间函数关于瞄准点位置的对称性，当瞄准点均位于Ωk内时，可以采用梯度下降法逐渐逼近瞄准点配置的最优值。当瞄准点初值位于Ωk外并远离Ωk时，指标范数对于该瞄准点的梯度将趋近于0，从而无法通过梯度下降法求解最优瞄准点。因此，瞄准点初值应当全部位于Ωk内。

以Ωk的中点xm,k为中心，以Ωk的h倍长hMk为总长度(其中h为初值参数)，等间隔分配瞄准点位置，作为瞄准点初值，则有效子区间Ωk内的瞄准点初值xk,i,0为

(26)

式中：i表示第k个有效子区间内的第i个瞄准点；xm,k为

(27)

4 基于梯度下降法的射击瞄准点位置求解模型

求解瞄准点位置的思路是使瞄准点配置对应的U(x)尽可能地接近Uo(x)，首先给出描述二者接近程度的指标，之后求解指标梯度，最后构建瞄准点位置的迭代求解模型。

4.1 中间函数差值指标梯度求解

设U(x)与Uo(x)的差值范数为I，有

(28)

I的形式较为复杂，取

(29)

由于I*与I单调性相同，为简化计算，以I*作为指数函数，求解I*对瞄准点位置的梯度。

对于每个瞄准点位置xi，求解∂I*/∂xi，有

(30)

4.2 射击瞄准点位置迭代求解模型

根据梯度(30)式，可以构建求解射击瞄准点位置的迭代模型，设定速率因子为η(一般取η∈(0,1])，则有

(31)

式中：xi,q为第i个瞄准点上第q次迭代的值。记所有瞄准点位置向量为X，

X=(x1,…,xi,…,xm)T.

(32)

给定迭代允许误差δ>0，则迭代终止条件为

|Xq-Xq-1|<δ.

(33)

5 仿真分析

目前，求解区域射击瞄准点的方法主要有几何法与函数逼近法。由于这两种方法只适用于目标分布服从正态分布与均匀分布的情况，首先在目标分布服从正态分布、均匀分布情况下，对比几何法、函数逼近法与本文梯度下降法。之后，在离散空间中给出不规则的目标分布情况，通过梯度下降法求解射击瞄准点，验证梯度下降法的有效性。

5.1 与现有方法对比

对于不同的目标分布情况，改变目标散布区域大小，通过不同方法求解射击瞄准点，对比不同方法的毁伤概率与计算时间。在对比毁伤概率时，同时通过最优中间函数给出当前误差条件下的最优毁伤概率。

设进行区域射击的末制导搜索武器搜索半宽B为1 000 m，自控终点误差Ex1为100 m，捕获后毁伤目标的概率Q为0.7. 计算过程中，梯度下降法速率因子η取0.5，初值参数h取0.5.

5.1.1 目标分布服从正态分布

设目标分布服从正态分布，期望值取0，目标散布误差Ex2取3 000～15 000 m，使用10个末制导搜索武器进行区域射击，共设定10个瞄准点。采用几何法、函数逼近法与梯度下降法计算射击瞄准点，对应的毁伤概率如图4所示，计算所需时间如图5所示。

5.1.2 目标分布服从均匀分布

设目标分布服从均匀分布，分布区域长度Lx取6 000～30 000 m，中点为坐标原点，使用8个末制导搜索武器进行区域射击，共设定8个瞄准点。采用几何法、函数逼近法与梯度下降法计算射击瞄准点，对应的毁伤概率如图6所示，计算所需时间如图7所示。

5.2 目标分布不规则情况

在两种目标分布情况下通过梯度下降法求解区域射击瞄准点。其中：目标分布情况A为初始正态分布经过探测、概率更新后的分布；目标分布情况B为人为设定的正态分布与均匀分布合成分布。首先通过梯度下降法求解不同分布情况的瞄准点配置，之后采用统计模拟法计算毁伤概率，验证该方法的有效性。

在仿真计算中，使用8个末制导搜索武器进行区域射击，共设定8个瞄准点，进行区域射击的末制导搜索武器搜索半宽B为500 m，自控终点误差Ex1为100 m，捕获后毁伤目标的概率Q为0.7. 计算过程中，梯度下降法速率因子η取0.5.

为便于表示概率密度，设正态分布概率密度fN(x|μ,σ)为

(34)

式中：μ为正态分布的期望；σ为正态分布的均方差。

均匀分布概率密度fU(x|xmin,xmax)为

(35)

式中：[xmin,xmax]为均匀分布范围。

5.2.1 目标分布情况A

(36)

探测概率PC(x)为(37)式，如图9所示。

(37)

则经过探测、更新后的目标分布概率密度fA(x)为

(38)

取h为0.5，采用梯度下降法求解区域射击瞄准点，得到更新后的概率密度与射击瞄准点位置如图10所示，最优中间函数与射击瞄准点位置如图11所示。

同时，为分析初值对于方法求解瞄准点配置的影响，选取不同的初值参数h，使初值间距不同，并对比结果的毁伤概率与求解时间，如图12所示。

5.2.2 目标分布情况B

人为设定目标分布概率密度fB(x)，为正态分布fN(x|-25Ex1,12Ex1)与均匀分布fU(x|4,30Ex1)之和。采用梯度下降法求解区域射击瞄准点，得到目标分布概率密度与射击瞄准点位置如图13所示，最优中间函数与射击瞄准点位置如图14所示。

(39)

同样，为分析初值对于方法求解瞄准点配置的影响，选取不同的初值参数h，使初值间距不同，并对比结果的毁伤概率与求解时间，如图15所示。

5.2.3 毁伤概率对比

为验证方法有效性，对于梯度下降法求解得到的瞄准点配置，通过统计模拟法计算毁伤概率，并与(5)式计算得到的理论毁伤概率与最优中间函数对应的最优毁伤概率进行对比。

对于每一种目标分布，按照其概率密度随机生成目标位置，之后按照射击方案中的武器瞄准点配置与武器自控终点误差计算毁伤概率。设目标位置为Xt，第r次试验中，第i个武器位置为ξi，武器捕获到目标的事件为Gc(i,r)，

(40)

统计第r次事件中，捕获到目标的武器数量nc,r，计算第r次事件统计模拟毁伤概率PK,S,r为

PK,S,r=1-(1-Q)nc,r.

(41)

设共进行nS次试验，则采用统计模拟法计算每种目标分布条件下的实际毁伤概率PK,S为

(42)

取试验次数nS为10 000，置信度95%. 计算得到的统计模拟法毁伤概率、理论毁伤概率与最优毁伤概率如表1所示。

表1 毁伤概率对比

5.3 结果分析

5.3.1 梯度下降法特性分析

在初值对于方法的影响方面。根据图12与图15，当初值参数h在(0,1)内取值时，瞄准点初值位于有效区间内，瞄准点结果对应的毁伤概率没有差别，而计算时间随h的变化而改变，并且改变趋势在不同目标分布情况下不一致；而当初值参数h取1以上数值时，瞄准点初值位于有效区间外，瞄准点结果对应的毁伤概率开始下降，这是因为个别瞄准点已经离开有效区间(即最优中间函数取值不为0的区间)，这些瞄准点对应中间函数差值范数的导数趋近于0，无法通过梯度下降法使这些瞄准点逐渐逼近最优值。因此，采用梯度下降法求解瞄准点时，需要确保瞄准点初值位于有效区间内。

在方法有效性，即毁伤概率优化程度方面。根据图4、图6可知，梯度下降法在目标服从规则分布条件下，其结果毁伤概率与现有最优方法相当；而根据表1，在目标不规则分布情况下，梯度下降法求解得到的瞄准点配置对应毁伤概率与最优毁伤概率接近。综上所述，梯度下降法能够有效地求解区域射击瞄准点，使毁伤概率接近理论最优值。

5.3.2 方法对比

通过综合图4～图11和图13、图14的仿真结果，总结对比几何法、函数逼近法、梯度下降法的特点如表2所示。

表2 方法特点对比

由表2可知：

在优化程度方面，几何法仅考虑了目标散布区域大小，没有考虑目标在散布区域内的概率密度，因此仅在目标均匀分布条件下与其他两种方法的优化程度相当，而在目标分布不均匀条件下毁伤概率较低，综合来看优化程度最低；函数逼近法与梯度下降法都采用了变分方法求解最优中间函数，在求解过程中以理论最优值作为参考逐渐逼近求解，因此优化程度较高。

在求解速度方面，几何法直接将武器等间隔分配到目标散布区域内，因此求解速度最快，显著高于其他两种方法；函数逼近法虽然建立了实际中间函数与最优中间函数的差值范数指标，但是采用无导数的数值逼近方法[19]，求解速度最慢；梯度下降法利用解析形式的导数，求解速度明显快于函数逼近法，但是慢于几何法。另外，梯度下降法采用迭代求解，可以根据任务时间要求随时停止到一个次优值。

在适用性方面，几何法基于目标散布区域大小，只要能够得到目标散布范围，就可以通过结合法求解区域射击瞄准点，但是如何确定目标散布范围仍然是一个问题，因此适用性中等；函数逼近法需要解析形式的最优中间函数，适用性较弱；梯度下降法利用离散形式的最优中间函数，可以在离散空间内求解目标不规则分布情况的区域射击方法，适用性最强。

6 结论

本文提出基于梯度下降法的离散概率空间区域射击瞄准点求解方法。该方法通过在离散空间内描述目标的分布概率，并通过变分方法给出了适用于离散形式目标分布的最优中间函数求解方法，从而可以适用于不规则的目标分布情况；最后给出了解析形式的梯度求解瞄准点配置模型，以迭代求解瞄准点配置。结果表明：该方法能够在离散空间内求解目标不规则分布情况下的区域射击瞄准点配置，适用性强、求解速度较快、优化程度高；由于避免了以解析形式描述目标分布概率密度，能够用于现有方法难以求解的情况，如人为指定目标分布的情况，或多批次攻击中目标概率密度不断更新条件下的情况，提升了区域射击方法的适用性。