旋转机械轴系装配体位置公差预测方法与优化研究

闫清东， 陈修齐， 魏巍， 黄静秋， 杨啟福

(1.北京理工大学 车辆传动国家重点实验室， 北京 100081；2.北京电动车辆协同创新中心， 北京 100081；3.江麓机电集团有限公司， 湖南 湘潭 411100)

0 引言

作为一种典型的旋转机械，液力变矩器装配体从定位基准导轮轴端面到装配体末端供油套之间，供油套的径向圆跳动作为液力变矩器末环装配误差，是检验液力变矩器各零件综合公差水平和整体加工水平的重要检验标准。

一旦径向圆跳动出现不满足设计要求的超差现象，会导致对供油套起密封作用的密封环发生磨损，严重时会导致供油套功能失效，从而造成液力变矩器闭锁油泄漏，进而影响液力元件性能，使得整车驱动系统失效。而对某液力变矩器而言，尽管组成环各零件均满足设计公差要求，但其装配体累积到末端的径向圆跳动却时有超差现象发生，其原因在于位置公差传递缺乏准确的理论分析指导，对应轴系各零件公差耦合传递机制不清晰。

为对装配体公差带进行准确预测和描述，研究人员构建了一系列理论模型：Requicha[1]提出以变动簇为基础的实体漂移法，通过以保持实体外形不变的拓扑变换，经漂移形成的漂移带即为公差带。在此基础上，张文祖等[2]完善了实体漂移理论，提出了漂移模型。Hillyard等[3]提出参数矢量化方法：将几何实体视作参数化几何框架，利用矢量位移表征公差大小；将尺寸信息作为固件框架，将尺寸公差视作在固件框架基础上允许的微小变动。Hoffmann[4]从三维欧式空间角度对公差带进行定义，将以点矢量为参数的公差函数施加上下界条件约束，表达为公差函数的形式。刘玉生[5]提出了基于自由度变动的公差平面数学表示方法，研究不同类平面的尺寸公差约束形式，广义地推导了尺寸公差数学模型。蔡敏[6]建立了圆柱要素形位公差的数学模型，将图形与文字定义的公差严格表征为矢量方程的形式。黄德智[7]借助计算机辅助工具，在虚拟环境下实现装配体公差的三维标注，并采用了基于Halton序列的拟蒙特卡洛公差分析法，引入装配成功率等概念对公差设计结果进行评价。孟祥海等[8]运用二维装配偏差建模和三维尺寸链建模相结合的方法，分析了装配体支点同心度的影响因素。

以上模型多数讨论和分析了单个零件的公差综合，在面对有多个配合面、多个约束条件的旋转机械时，其公差理论模型的建立较为复杂，对应其公差的传递机制不清晰，难以对其形位公差累积进行有效的理论预测。

为此，本文提出一种预测累计到装配链末端径向圆跳动值的变动边界圆法，预测径向圆跳动公差范围，并通过蒙特卡洛公差分析全局优化方法，根据所提出的公差传递模型对公差设计进行优化。

1 基本假设与问题描述

1.1 基本假设

在描述旋转机械轴系装配体径向圆跳动位置公差传递机制之前，先提出下列假设：

1)本模型分析装配体径向圆跳动位置公差传递机制，将各环零件视为刚体。不考虑零件在力、热或环境影响下的变形。

2)本文对误差的计算处理基于蒙特卡洛公差分析法,认为各零件(组成环)的实际尺寸均符合正态分布规律。

1.2 问题描述

某型液力变矩器的供油套径向圆跳动值[9]定义为：装配体末端供油套绕导轮轴端面轴线(见图1)转动时,径向测得的最大读数与最小读数之差。

但实测中大量样本出现难以满足设计值Δ=0.25 mm的现象(Δ>0.3 mm)，为能满足设计要求，本文拟从累积精度角度解释优化的原理，并分析径向圆跳动形位公差装配体传递机制。分析对象为某液力变矩器供油套的径向圆跳动，其径向圆跳动主要受其零件加工精度和装配累积精度两方面的影响。其装配累积精度影响因素为： 1)轴线对基准轴线的同轴度误差；2)圆柱面的圆柱度误差；3)各零件轴线相对于基准轴线的偏角累积公差。

2 模型建立

2.1 整体模型

变动边界圆定义如下：在求径向圆跳动值过程中，若只考虑回转体零件旋转时与基准轴线的最大距离与最小距离，可将其视为半径为ρ的圆绕某点(偏心距为e)回转。其最远距离用ρ+e表示，最近距离用ρ-e表示。

将径向圆跳动公差简化为只与距回转中心最大距离和最小距离有关，因此旋转面的模型可以视为圆柱体模型。以基准轴线为z轴，建立如图2所示的柱体模型。

如图2所示的实际轴线无倾角模型所示，供油套零件绕基准轴线旋转，如果其端面与基准轴线的最远端距离为ρ1max、最近端距离为ρ1min，则其径向圆跳动公差可表示为

d1=ρ1max-ρ1min=2e.

(1)

但在工程实际中，还要考虑零件实际轴线相对于基准轴线的倾角θ(见图3)，此时端面与基准轴线的最远端距离为ρ2max，最近端距离为ρ2min.

径向圆跳动公差可通过圆柱模型上的几何关系(2)式、(3)式进行计算：

(2)

(3)

故

(4)

(2)式～(4)式中，α与θ互余，在ρ确定的情况下，可由零件高度确定。ρ与e为水平面参数，可通过2.2节中的模型计算求出。

2.2 水平面参数传递模型

利用水平面参数ρ和e可以表征装配环末端在其余i个装配环约束下的最大边界及其轴线相对于基准轴线的同心度。根据参数ρ和e表示出的零件绕轴线转动极限距离ρmax与ρmin，可以得到径向圆跳动值。

装配环的累积精度受各个装配环平面参数的影响，可以用函数形式表示出第i个装配环水平参数对装配环末端的作用：

F(ρ,e)=f1(ρ1,e1,…,ρi,ei)+
f2(ρ2,e2,…,ρi-1,ei-1)，

(5)

式中：f1与f2分别为两种作用类型不同的组成环与装配环末端的函数关系。

2.2.1 第1类组成环作用机理

在同轴度作用下，位置误差的传递过程可用一端的水平参数(ρA，eA)与另一端水平参数(ρB，eB)的关系来表示。

以A面、B面表示在同一个回转体零件的上下端面(见图4)，B端面相对于A端面同轴度公差值[9]为T，可以转化为名义尺寸为0，公差为0.5T的线性尺寸0±0.5T的偏心距e′.

设A面水平参数ρA=ρ，eA=e，若不存在同轴度误差，则B面水平参数应与A面相同，即ρB=ρ，eB=e，径向圆跳动d=2e.

2.2.2 第2类组成环作用机理

在轴孔配合作用下，位置误差的传递过程可用轴截面水平参数(ρB，eB)与孔截面水平参数(ρA，eA)的关系来表征。

设孔截面水平参数ρA=ρ，eA=e，若轴孔配合绝对平滑，不存在误差，则轴截面的水平参数应与孔截面相同，即ρB=ρ，eB=e，径向圆跳动d=2e.

由此，可将所有装配环的约束按影响类型归为第1类装配环或第2类装配环，复杂装配体的累积精度可以简化为以上两种基本函数各自的累加和。

2.3 倾角参数传递模型

回转体零件装配方式为定心安装，但由于加工表面存在着一定的端面圆跳动，在装配过程中会产生倾角的累加。其传递机制与水平参数基本相同，受单参数θ影响。类似地，其装配环末端在其余i个装配环Ai约束下的倾角累积程度可用函数形式表征。其传递模型示意图如图5所示。

F(θ)=f(θ1,θ2，…，θi).

(6)

3 模型计算

以某型液力变矩器为计算实例，建立传递函数模型，计算其平面参数，按照在传递过程中对装配环末端的作用结果将装配环分为第1类装配环和第2类装配环两类，其极限状态表达式以及对误差传递的作用形式见第2节。

根据液力变矩器装配关系和各零件间的轴孔配合形式，建立液力变矩器的嵌套模型，某型液力变矩器配合面如图6所示。根据此模型可以表征出同一零件的上下两个端面特征和各零件配合面之间存在的轴孔间隙。

3.1 模型分析

从图6的模型可以直观看出，在同轴度作用下，同一零件前后端面变动边界圆的偏心距e改变，而变动边界圆的半径ρ不变。而在轴孔配合中，分属相邻两个零件上同一端面的前后侧变动边界线圆的半径ρ改变，而变动边界圆的偏心距e不变。

在第1类组成环(相关参数见表1)作用下，变动边界圆偏心距e发生改变，而变动边界圆半径ρ保持不变。下面列出模型中第1类装配环相关参数。这里引入尺寸链传递系数Ci[9]，Ci表征各组组成环对封闭环的影响。当Ci>0时该环为增环，当Ci<0时该环为减环。

表1 第1类装配环相关参数

(7)

式中：k0为封闭环相对分布系数；n为装配环个数。

封闭环公差带中心μ0为

(8)

式中：μi为各环组成环公差带中心。

依据本文模型，第1类装配环个数n=6，则第1类环累计公差带宽Te为

(9)

下面列出第2类装配环参数(见表2)。第2类装配环影响变动边界圆的半径，而变动边界圆偏心距保持不变。

表2 第2类装配环相关参数

第2类环累计公差带宽为

(10)

利用此模型和第2节中建立在此模型基础上的计算方法，对液力变矩器末端的径向圆跳动变动边界线圆的参数(ρ，e)进行计算，得到其水平变动边界圆参数为

ρ1max=μρ+μe.

(11)

下面考虑次要影响因素，工程中倾斜误差较小，倾斜角可用其正切值表示。令回转体零件第i环的端面圆跳动为hi，第i环的直径为Di，则该零件端面的正切值分别为

(12)

令各装配环倾角值tanθi变化范围为Tθi，则装配环末端倾角值tanθ0变化范围Tθ0可表示为

(13)

根据(4)式即可求出装配末环累积公差变动范围。

3.2 蒙特卡洛法模拟计算

机械产品在大批量加工时，在加工过程稳定、影响因素众多且相互独立的情况下，零件尺寸变动将符合正态分布。基于这种装配特性，可以采用蒙特卡洛法[10]模拟组成环实测尺寸值，对装配环的累积精度进行计算。

依据蒙特卡洛法，抽取符合各装配环参数的各环误差样本2 000组，分别为{εj1，εj2，εj3，…，εj9}(其中j为样本容量，εj1到εj9对应第j组子样本的装配环误差)，计算流程如图7所示。

依据蒙特卡洛法模拟计算流程，得到2 000次蒙特卡洛抽样下的样本边界圆范围拟合曲线(见图8)。

由高斯曲线拟合结果可知，水平边界圆参数e=0.032 5,ρ=0.124.

将水平边界圆范围代入第2节模型中，得到径向圆跳动均值为0.328 mm，分布范围在0.299～0.355 mm之间。与实测产品精度范围(见图9)相符合，远远超出设计要求0.25 mm.

4 优化设计

当前方案下，径向圆跳动值无法达到产品目标精度要求，现以平均装配精度和加工成本为目标进行联合优化设计。借助遗传算法[11]，优化变量为各装配环尺寸公差的精度等级。

4.1 优化目标参数及适应度表达

首先定义优化模型中的平均装配精度和加工成本，并建立精度优化目标函数关系。其中：

零件加工成本可视为设计公差值T的函数，本装配体加工成本的计算依据我国中型机械类企业在中等批量加工时，各种特征尺寸加工成本的先验公式[12]，代入装配环各零部件的外圆及内孔特征、平面尺寸、形状特征及装配可靠度。结合各装配环具体公差等级，得到加工成本。

在这两项目标优化中，每组方案的装配累积精度的平均装配精度可以通过蒙特卡洛法进行模拟计算，加工成本C(T)可以通过每个装配环公差T求得。

灰色关联度[13]常用于分析系统动态发展趋势，根据灰色关联法建立适应度函数,用灰色关联度系数表征当前方案与最优方案的关联程度，作为遗传算法的适应度。灰色关联度的归一变换及关联度向量表达方式见文献[13]。

式中：ωε、ωc为设计人员依据当前产品的生产和使用指标所得到的权重系数；Ti为各个装配环的公差等级；Tc为装配体累积精度，需满足设计指标0.25 mm要求。

4.2 遗传算法公差优化

遗传算法公差优化流程如图10所示。

根据上述模型，选取不同公差等级组合方案，对该型液力变矩器各零件装配环进行优化。遗传算法参数如下：初始种群规模100，交叉概率0.8，变异概率0.05.

4.3 装配验证

研究清楚径向圆跳动值超差的作用机理后，基于径向圆跳动形位公差传递模型，采用遗传算法优化得到的最优方案，对变矩器零件的公差等级进行改进。

完成各零件公差等级调整优化后，对一批变矩器进行重新整装，并对这一批次(共29台)样机的径向圆跳动值进行测量。测量结果表明：优化改进后的样件末端径向圆跳动值分布于(0.20 mm,0.27 mm)之间(见图11)，实测数值满足了设计要求。

用高斯拟合曲线对比优化前后实测值的分布范围，如图12所示。

由图12可知，优化前径向圆跳动平均值较大，分布范围较宽，基于径向圆跳动形位公差传递模型优化后的径向圆跳动平均值更小，分布范围更小，且能符合实际工程要求。

表3 最优方案的具体参数

5 结论

在旋转机械轴系装配体当中，配合面是多种误差传递的媒介。多种类型误差通过配合面耦合之后，传递的机制较为复杂。本文结合旋转机械轴系装配体几何特征，以液力变矩器为实例，提出了径向圆跳动位置公差的分析模型。考虑不同类型误差对累积精度的作用不同，拓展蒙特卡洛模拟法，建立了径向圆跳动位置公差累积精度计算模型。通过多组试验数据分析，得出以下主要结论：

1) 多零件装配的旋转机械轴系装配体径向圆跳动位置误差是可预测的，且符合一定的分布规律；本文所提变动边界圆方法和径向圆跳动形位公差装配体传递模型为误差分析奠定了基础。结合蒙特卡洛法拟合出径向圆跳动公差均值及其分布规律，与产品实际测量值相符合。

2) 采用遗传算法对于旋转机械轴系装配体位置公差优化问题具有较高的适用性和计算精度。

3) 工程实例结果表明，本文所提的多目标优化模型用于指导圆跳动公差设计具有可行性和实用性。依据本文提出的径向圆跳动形位公差装配体传递模型，可对旋转机械轴系装配体设计进行优化。