应用均值不等式求最值的常用方法

张文雅

摘要：本文介绍了考试大纲对均值不等式的考查要求和应用均值不等式求最值时的条件，同时还结合例题介绍了应用均值不等式求最值的三种常用方法：推广结论公式法、换元法、最值取等。

关键词：均值不等式;一“正”二“定”三“等”;推广公式;换元化归;最值取等

中图分类号：G633.6文献标识码：A     文章编号：1992-7711（2018）19-077-1

教育部考试中心发布的《2018年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明（理科）》，对于均值不等式的要求：掌握两个和三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这两个定理，并能运用上述性质、定理和方法解决一些问题。即指以下两个不等式：x+y2≥xy，x+y+z3≥3xyzx、y、z∈R+①（当且仅当这些正数都相等时，取“=”号）。使用时，常需变形为一边是纯粹的“和式”或“积式”[1]。

一、运用均值不等式求最值时的条件

运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”。即：（1）要考虑字母或字母的组合是否为正的;（2）考虑相应的和（或积）是否为定值;（3）要考虑等号成立的条件。

二、应用均值不等式求最值的常用方法

1.推广结论公式法

两个和三个正数的平方平均数不小于它们的算术平均数，两个和三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，两个和三个正数的几何平均数不小于它们的调和平均数。公式如下，其中②式称为平方平均数，③式称为调和平均数。

x2+y22≥x+y2≥xy≥21x+1y②

x2+y2+z23≥x+y+z3≥3xyz≥31x+1y+1z③

當且仅当这些正数都相等时，取“=”号。②式和③式，考纲虽不要求，但可作为中间结论，化繁为简。②式易证从略;③式的第一个不等号与第三个不等号证明如下：

（x-y）2+（y-x）2+（z-x）2≥0

x2+y2+z2≥xy+yz+zx

x2+y2+z23≥x+y+z3

1x+1y+1z≥3·31x·y·z3xyz≥31x+1y+1z

例1：已知sin2α+sin2β+sin2γ=1（α、β、γ均为锐角），那么cosα·cosβ·cosγ的最大值等于。

解析：由sin2α+sin2β+sin2γ=1可推出cos2α+cos2β+cos2γ=2，考虑用公式③解，由

3cosα·cosβ·cosγ≤cos2α+cos2β+cos2γ3=23

得cosα·cosβ·cosγ≤269（当且仅当cosα=cosβ=cosγ=23时，取最大值）

如果题设不变，要求cosα+cosβ+cosγ最大值和1cosα+1cosβ+1cosγ的最小值，虽然难度更大，但应用公式③即可求解。

2.换元法

换元法是指把一个比较复杂的数学式子的一部分看成是一个整体，用另一个字母代替这一部分（即换元）的方法。换元法渗透着化归和整体的数学思想，可以使式子得到简化，各项的关系容易看清，便于解决问题。

例2：已知0<a<1，求1a+41-a的最小值。

解析：令1-a=b>0，问题等价于：已知a+b=1，a，b∈R+，求1a+4b的最小值

（1a+4b）·1=（1a+4b）·（a+b）=ba+4ab+5

≥21·4+5=9

当且仅当ba=4ab，即a=2-3时上式取等号。

故1a+41-a的最小值为9。

3.最值取等法

最值取等法指从不等式中发现等号成立的条件入手，使用时保证等号能取得到的方法解题。使用此方法解题时，常有意想不到的效果。

例3：已知a>0，b>0，a+b=1，求证（a+1a）2+（b+1b）2≥252。

解析：此题证法很多，但几乎所有证法都要多次用到均值不等式，所以此题难度较大。但若抓住等号成立的条件a=b=12并正确应用均值不等式，问题便能迎刃而解。其中一种解法如下：左边=a2+1a2+2+b2+1b2+2，因为a2+1a2≥2的等号不成立，此时“山重水复疑无路”，但重新组合后可知1a2+1b2≥2ab≥1（a+b2）2=4，a2+b2≥（a+b）22=12，此时便能“柳暗花明又一村”，题中不等式得证。

综上所述，利用均值不等式求最值时应注意一“正”、二“定”、三“等”，其中等号成立的条件更要引起注意。同时，推广公式做中间结论，换元法，先猜测再证明，这些也都是数学上常用的解题方法。

[参考文献]

[1]房瀚婕，田建.妙用均值不等式 提升解题能力[J].高中数学教与学，2017（01）.