巧用零点来解题

刘辉

摘 要：一元二次函数的零点（即一元二次方程的根）的分布和系数的关系是一个比较复杂的问题，一般需考查根的判别式、对称轴、端点函数值等。教你快速解决零点问题。

关键词：零点；判别式；端点函数值

函数y=f（x）在（a，b）上有零点的一个重要条件是f（a）·f（b）<0，下面就以我们比较熟悉的一元二次函数为例，探讨一下如何利用f（a）·f（b）<0把二次函数的零点（即对应方程的根）限制在某一区域内，为便于讨论不妨设a>0，Δ>0其余情况可仿此讨论.

一、两个零点都小于某个数

例1 已知二次函数y=2x2+3x-5m有两个小于1的不同的零点，求m的取值范围.

分析：二次函数y=2x2+3x-5m的对称轴为x=-■，两个小于1的零点在-∞，-■和-■，1上.

y=ax2+bx+c（a≠0）在[a，b]上如果满足f（a）·f（b）<0

解：设f（x）=2x2+3x-5m，依题意可得：

f-■=2×-■2+3×-■-5m<0f（1）=2×12+3×1-5m>0，化简得40m+9>01-m>0解得-■

二、两个零点都大于某个数

例2 关于x的方程x2-x+2a-4=0有两个不同正根，求a的取值范围.

分析：方程x2-x+2a-4=0有两个不同正根就是函数f（x）=x2-x+2a-4有两个大于0的零点.

解：设f（x）=x2-x+2a-4，则它的对称轴为x=■>0，若方程x2-x+2a-4=0有不相等的两个正根，只需f（0）=2a-4>0f■=■2-■+2a-4<0，解得a的取值范围是2，■.

三、两个零点在某个数的两侧

例3 已知方程x2+2（k-1）x+k+2=0有两个根，一个根大于1另一个根小于1，求k的取值范围.

解析：设f（x）=x2+2（k-1）x+k+2，依题意，若使方程x2+2（k-1）x+k+2=0有两个实根，只需f（1）=12+2（k-1）+k+2=3k+1<0即可，解得k<-■，即k的取值范围为-∞，-■.

四、两个零点在某一区间内

例4 已知方程x2+x+m=0的两个不相等的实根都在区间（0，2）内，求m的取值范围.

解：函数y=x2+x+m的对称轴是x=-■

要使两个不等的实数根都在区间（0，2）内，得满足

f（0）=m>0f-■=■2-■+m<0f（2）=6+m>0，解得0

m的取值范围为0，■.

五、两个零点在某一区间两侧

例5 已知方程x2+（a-9）x+2a+6=0有两个实数根，其中一根小于0，另一根大于2，求a的取值范围.

解：依题意，可得f（0）=2a+6<0f（2）=4a-8<0，解得a的取值范围是（-∞，

-3）.

六、两个零点在两个不同的区间内

例6 已知关于x的方程3x2-5x+a=0的一根在（-2，0）內，另一根在（1，3）内.则a在什么范围内取值？

解：依题意，可得f（-2）=3×（-2）2-5×（-2）+a>0f（0）=a<0f（1）=3-5+a<0f（3）=3×32-5×3+a>0，解得-12

七、两个零点只有一个在某一区间内

例7 已知方程x2+（m-3）x+1=0有两个根，有且只有一个根在区间内（0，2），求m的取值范围.

解：依题意，可得f（0）·f（2）<0，即1×（2m-1）<0，解得m的取值范围为-∞，■.

一元二次方程的根的分布和系数的关系是一个复杂的问题，需考查根的判别式、对称轴、端点函数值等，运算量较大。如果从函数有零点的两个条件出发来考查，就使问题变得简单，降低运算量，使大家能够高效、准确算出结果。

编辑 高 琼