基于认知差异的交通流动力学建模及仿真

翟 聪，巫威眺，刘伟铭，黄 玲

(1.佛山科学技术学院交通与土木建筑学院，广东佛山528000；2.华南理工大学土木与交通学院，广州510640)

0 引 言

随着交通保有量的日益增多，交通拥挤现象愈发严重，吸引了众多学者对交通拥堵问题的研究.为研究交通拥堵形成和演化机理，学者们提出一系列交通流模型[1-5].1998年，日本学者Natagani提出了第一个格子流体动力学模型以分析高速公路上交通拥挤的演化[6].自该模型提出以来，很多学者对其进行拓展和改进，主要有：Peng等提出了一类考虑驾驶员换道预期的格子模型[7]；Yang等考虑流量差信息的最优估计对格子模型进行了改进[8]，同时验证了模型的新增项对于缓解交通拥堵是有效的；Tian提出了一类带有连续格点最优流量差信息的新格子流体动力学模型，验证了考虑连续格点最优流量差信息能够有效的缓解交通拥堵[9]；Tian分析了考虑连续格点之间密度差对交通流稳定性的影响[10]；Ge[11]为了增强文献[6]中所提出的格子流体动力学模型的稳定性，从控制论方法出发设计了一类新的滞后反馈控制器；Tian[12]分析了匝道入口处连续格点的密度差信息对主线交通流稳定性的影响；Zhai[13]和Wu[14]对单车道和双车道上记忆时间流量差效应进行了分析.其余关于格点模型的相关研究还可参阅文献[15-20].

现有研究鲜有考虑驾驶员对交通信息认知的差异性，同时在未来车路通讯环境下，通过路侧设备所收集道路上车辆数及各车的速度信息驾驶员能够对未来道路交通状态进行预测，为此，本文提出了一类基于驾驶员认知差异的单车道格子模型，通过线性稳定性分析获得了模型的稳定性条件，最后的仿真算例验证了模型参数对交通流稳定性的影响.

1 模型建立

1998年，Nagatani[6]提出了首个格子流体动力学模型，模型可表示为

式中：ρ0表示平均密度；a表示驾驶员的灵敏度；V(·)表示最优速度函数；ρ(x+δ)表示t时刻车辆前方x+δ位置处的局部密度；v和分别表示平均速度和平均车间距.

将式(1)中的x无量纲化，则式(1)可变为

式中：∂x(ρv)=∂x(ρv)/δ∂x(xδ)=ρ0∂x(ρv).

因此，式(1)和式(2)可转换为

式中：ρj,vj分别表示格点j在t时刻的瞬时密度和速度.

V(ρj)的表达式为

式中：ρc表示安全密度；vmax表示道路上的最大行驶速度.

在实际驾驶过程中，过去的信息对驾驶行为存在一定的影响[21].在感知(接收)到外界交通信息时，驾驶员并不会直接根据当前信息调整车辆加速度，而往往是根据当前交通信息与上一时刻交通信息的差异进行调整.当前时刻与上一时刻之间的时间差也称为记忆时间，其影响因素包括驾驶员的认知水平、对道路环境的熟练程度、个人驾驶习惯等.一般情况下，与认知较弱的驾驶员相比，对道路认知强的驾驶员对道路信息较为敏感，因而其记忆时间和强度系数也会有所增大.考虑到道路上不同驾驶员的认知差异，对式(5)进行改进，可得

式中：p表示认知强度系数，当0.0＜p＜0.5时，表现为认知较弱；当0.5≤p＜1.0时，驾驶员对交通信息的认知较强；当p≡0.0时，驾驶员对交通信息完全“不认知”；当p≡1.0时，驾驶员对交通信息完全认知.τ表示延迟时间，灵敏度可表示为延迟时间的倒数，即分别表示认知弱、强驾驶员的记忆时间步长权重，这里α2≥α1，其中，α1=(1-r)α2，α2=α；r≥0表示不同认知类型驾驶员中记忆时间的差异系数.k1和k2分别表示认知较弱和强驾驶员的记忆最优流量差的权重.一般地，认知较强的驾驶员往往更加依赖于该流量差信息，因此，驾驶员的记忆时间步长权重应与记忆最优流量差权重呈正相关关系，为了方便推导和证明，与记忆时间步长权重类似，这里将不同认知驾驶员权重差值关系设定为，k1=(1-r)k2，k2=k.

在车路通讯环境下，通过路侧设备可以实时收集道路上车辆信息，基于该信息驾驶员能够有效地对未来道路的交通状态进行预测，其中预测信息在格子流体动力学模型下都可以直接体现在密度上，为此，为了反映预测交通密度ρj+1(t+βτ)对驾驶行为的影响，将式(7)修正为

式中：βτ表示的是驾驶员的预测时间；β是预测权重.

为了简化分析，忽略其中的非线性项，对变量ρj+1(t-(1-r)ατ),ρj+1(t-ατ)和ρj+1(t+βτ)进行泰勒展开，即

式中：V′(ρj+1)=dV(ρj+1)/dρj+1.

将式(10)带入到式(8)中，同时联立式(4)以消除式(8)中的速度变量v，可得到

2 线性稳定性分析

假设在均匀交通流情形下，将交通状态赋予式(12)的恒定密度ρ0和最优速度V(ρ0)，该均匀交通流的稳定性状态解可等式为

假定yj(t)为格点j在稳定状态下的一个微小的扰动，则

将式(13)带入式(11)，同时进行线性化表示，可得

将z=z1(ik)+z2(ik)2+…代入式(15)，则可得到关于ik的一阶(ik)和二阶项((ik)2)的系数，即

基于控制论可知，当z2＜0时，该均匀稳态流是非稳定的；相反，当z2＞0时，该均匀稳态流是稳定的.因此，该均匀交通流的中性稳定性曲线可由式(16)表示，非稳定性条件可由式(17)表示.

当k=0或α=0且β=0时，上述的非稳定性条件与Nagatani’s格子模型[6]相一致；同时k=0或α=0，上述的非稳定性条件等价于Peng所给出格子模型[20]，因此本文所提出的模型可以视为上述模型的一般化形式.

在图1中，随着记忆时间α继续增大时，该组曲线的纵坐标值(临界敏感系数(ρc,ac))将进一步的减小，稳定区域较Peng所提出的格子模型时更加广泛，说明了记忆时间的时间步长对于增强交通流的稳定性是有效的；随后图1(b)分析了中性稳定曲线在不同权重参数k下的变化情况，随着灵敏度参数k的增大，交通流的稳定区域逐渐增大，这也说明了权重系数k对于缓解交通拥挤是有效的.

图1(c)和图1(d)分别从不同认知差异的权重系数p和认知差异系数r出发进行可视化分析.随着权重系数p的不断增大，即驾驶员的认知性逐渐增强，交通流的稳定性区域也呈现递增趋势；当差异程度系数r增大，两类驾驶员的两极化加剧，此时交通流的稳定性降低.因此参数p与交通流的稳定性呈现正比例关系，增大系数p，驾驶员的认知能力增强，对于缓解交通拥堵越有效；而参数r与交通流的稳定性呈现相反趋势，增大参数r将会加剧交通流的震荡，从而延长交通流恢复稳定的时间.

最后图1(e)描述的是驾驶员预测能力对交通流稳定性的影响，随着参数β的不断增大，中性稳定性曲线也随着参数β的不断增大而逐渐下移，曲线外的稳定性区域面积也即逐渐增大，由此可知，该模型的稳定性与预测系数β的增大呈现正比例关系，增大预测系数β能够抑制交通拥挤现象的出现.

图1 关于不同参数下(ρ,a)空间的相图情况Fig.1 The phase diagram in parameter space(ρ,a)under different parameters

3 仿真算例

在周期有界条件下，本文将单向道路切分为N个格子，其中各格点的初始密度可表示为

式中：δ表示初始干扰，取δ=0.1；驾驶员的灵敏度a=1/τ=2.85；各格点的初始密度ρc=ρ0=0.25；格点总数N=100.

3.1 参数k的影响

图2给出了104s后不同系数k下的密度波时空演变图.

图2 在104步长后，不同参数k下密度波随时间的演化情况(α=0.3,β=0.0,p=0.5,r=0.5)Fig.2 Space-time evolution of the density after104time step for differentk(α=0.3,β=0.0,p=0.5,r=0.5)

图2(a)～图2(d)分别对应于k=0.1,0.2,0.3,0.4.由于k=0.1,0.2,0.3均不满足稳定性条件式(17)，因此图2(a)～图2(c)出现扭结—反扭结孤立密度波，且幅度随参数k的增大而降低，该结论与理论分析结论相符；而当k=0.4时，稳定性条件式(17)满足，图2(d)中初始干扰随时间的推演逐渐消失近似形成自由波.图3给出了t=10 300 s时的瞬时密度分布情况，随着参数k的不断增大，此时密度震荡幅度却呈现相反趋势，相比于k=0.1的密度震荡幅度，k=0.3情形下的幅度值显著降低，且当k=0.4时，密度震荡幅度近似为0，综上证明了，在当前为缓解交通流的拥堵，考虑记忆最优流量差(k＞0)确实是有必要的.

图3 图2中各子图在t=10 300时刻下瞬时密度分布情况Fig.3 Density profiles of the density wave att=10 300 correspond to panels in Fig.2 respectively

3.2 参数α的影响

图4给出了在不同记忆时间步长α下所有格点的密度—时间演化图像，其中图4(a)～图4(d)分别对应于α=0.0,0.1,0.2,0.3.当α=0.0时，该模型与Natagani模型一致，基于稳定性条件式(13)可知，仅当α=0.3时，交通流的稳定性成立，而其余的α=0.0,0.1,0.2时，均不满足稳定性条件，从图4(a)～图4(c)发现它们存在扭结—反扭结解，而在图4(d)中未发现扭结—反扭结解.图5描述的是图4在t=10 300时刻下所有格点的瞬时密度分布情况，通过对比图5中4条曲线可知，车辆的密度震荡幅度随着α的增大而逐渐减小，说明记忆时间步长能够有效地增强交通流的稳定性，同时图中α=0.1,0.2,0.3这3条曲线的振幅均大于α=0.0，而图5中实线表示的是α=0.0情况，也即Natagani所提出的流体动力学模型，从而可以知道，考虑有最优速度在记忆时间变化项的新模型(α＞0.0)的稳定性要强于Natagani模型.综上所述，增大记忆时间权重系数α能够有效地影响交通流的稳定.

图4 在104步长后，不同参数α下密度波随时间的演化情况(β=0.0,k=0.3,p=0.5,r=0.5)Fig.4 Space-time evolution of the density after104time step for differentα(β=0.0,k=0.3,p=0.5,r=0.5)

3.3 参数p的影响

图6描述的是不同认知权重系数p下的密度随时间演化情况.从图6中可知，当p=0.0时，交通流受到初始干扰的影响使得震荡幅度较大，而随着驾驶员认知程度的加深，即权重系数p的不断增大，交通流的震荡幅度也逐渐降低，最终在图6(d)情形下震荡幅度近似为0.图7描述的是在t=10 300时刻下各格点的瞬时密度分布情况，通过对比图7中不同p下的分布曲线可知，p=0.0下各格点的密度震荡幅度最高；p=1.0时，各格点的密度震荡幅度最低，这间接验证了图6中分析所得到的结论.由此，我们可知，权重系数p对于增强交通流的稳定性是存在积极影响的.

图5 图4中各子图在t=10 300时刻下瞬时密度分布情况Fig.5 Density profiles of the density wave att=10 300 correspond to panels in Fig.4 respectively

3.4 参数r的影响

本节分析认知差异大小对交通流稳定性的影响，从图8可以看出，随着差异系数r的不断增大，交通流受到初始干扰影响震荡幅度也越剧烈，也即在图8(b)～图8(d)中相比于图8(a)更易发生交通拥堵现象.图9展示的瞬时密度分布情况也验证了上述结论.

综合3.1～3.4节对各参数的分析可知，参数k,α,p,r对交通流的影响存在着显著的不同.其中，参数k,α,p对交通流稳定性产生积极影响，即增大上述参数能够有效增强模型的鲁棒性；参数r却对交通流稳定性产生消极影响，增大参数r将会破坏模型的抗干扰能力.

图6 在104步长后，不同的参数p下密度波随时间的演化情况 (α=0.3,β=0.0,k=0.3,r=0.5)Fig.6 Space-time evolution of the density after104time step for differentp(α=0.3,β=0.0,k=0.3,r=0.5)

图7 图6中各子图在t=10 300时刻下瞬时密度分布情况Fig.7 Density profiles of the density wave att=10 300 correspond to panels in Fig.6 respectively

图8 在104步长后，不同的参数p下密度波随时间的演化情况 (α=0.3,β=0.0,k=0.3,p=0.5)Fig.8 Space-time evolution of the density after104time step for different parameters(α=0.3,β=0.0,k=0.3,p=0.5)

3.5 参数β的影响

本节分析预测系数β对交通流稳定性的影响，其中图10表示在不同参数β下交通流的演化情况，图11表示交通流在t=10 300时刻下各格点瞬时密度分布.可以看出，随着预测参数β的不断增大，交通流的震荡幅度逐渐降低，而具体震荡的幅度通过图10可以明显的得到.通过上述的描述可得如下结论：参数β越大，交通流的稳定性也越强，交通拥挤现象越不容易发生.

图9 图8中各子图在t=10 300时刻下瞬时密度分布情况Fig.9 Density profiles of the density wave att=10 300 correspond to panels in Fig.8 respectively

图10 在104步长后，不同的参数β下密度波随时间的演化情况(α=0.3,k=0.3,p=0.5,r=0.5)Fig.10 Space-time evolution of the density after104time step for differentβ(α=0.3,k=0.3,p=0.5,r=0.5)

图11 图10中各子图在t=10 300时刻下瞬时密度分布情况Fig.11 Density profiles of the density wave att=10 300 correspond to panels in Fig.10 respectively

4 结 论

本文以车路通讯环境下的宏观交通流演化为研究对象，考虑驾驶员对交通信息认知的差异性和驾驶员的预测性，建立了一类新的格子模型.通过线性稳定性分析，给出了新模型的稳定性准则，发现随着参数k,α,p和β的不断增大，该模型的稳定性区域也逐渐增大，说明了参数k,α,p和β对于是抑制交通拥堵是有效的，而稳定性区域的大小却随着差异系数r的增大而逐渐减小.最后，通过仿真算例验证了上述结论，从而证明了权重参数k，记忆时间步长α，权重参数p，差异系数r和预测时间步长β对于交通流的稳定性都是存在影响的，但是不同参数的影响所体现的具体形态却存在着显著的不同.

本文的主要局限在于只考虑了单车道情形，并没有考虑到实际环境下车辆的换道及超车行为；同时我们的研究主要基于仿真算例分析，并没有利用实测数据进行校验，后续的研究中将对上述问题进行深入研究.