用基本图形，回归本质

康聪

一、问题呈现

（2016·河北）如图所示，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，若OP=2，点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）.

A.1个

B.2个

C.3个

D.3个以上

二优点解读

（一）素材源于教材

本题以线段、角的轴对称性为背景，从特殊到一般的方法，找到点P的运动规律.对教材习题进行改编，文字简约，图形背景熟悉，蕴含着数学核心知识，要求学生用动态的方法分析图形中的相互关系.在知识点上，主要考查了对称、全等、等边三角形等数学核心内容；在能力上，考查学生在动态背景下处理几何关系的认识能力；在思想上，考查学生的数形结合的思想和分类讨论的思想.试题的呈现方式自然、简洁，有助于学生对数学本质的思考.

（二）教材呈现

本题源于苏教版八年级上学期第二章“轴对称图形”的课后实验操作：

画∠AOB=90°，并画∠AOB的平分线OC.

（1）把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与OA，OB垂直，垂足分别为E，F（图①）.度量PE，PF的长度，这两条线段相等吗？

图①

图②

（2）把三角尺绕点P旋转，三角尺的两条直角边分别交OA，OB于点E，F（图②），PE与PF相等吗？

（三）关注过程，经验积累中

本题以常见的图形对称性为基本素材，将教材上通过三角板的顶点在直角的平分线上旋转后与角两边形成线段长的大小的比较，运用类比的思想，巧妙地构造出当点在120°的角平分线上时，与角两边上的点会形成多少个等边三角形的命题方向，从位置关系到数量关系的探究，解决问题的方法在延续中变化.

（四）解题思路及拓展

教材中，当三角板的顶点绕点P旋转后，可通过点P向角两边作双垂线段，利用全等，得到PE=PF.而本题中，先找到等边三角形，可过点P向角两边作双垂线段，垂足分别为M，N，连接MN，可形成一个等边三角形，再将此等边三角形绕点P进行旋转，通过全等和等边三角形的判定，得到无数个等边三角形.

拓展1如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC上，且AE=CF.

求证：（1）DE=DF；（2）DE⊥DF.

设计意图：本题以等腰直角三角形为图形框架，利用图形本身的轴对称性质，D点所处的特殊位置，利用“三线合一”可知点D在∠C的平分线上，从而向∠C的两边作双垂线段，本题的思路以此打开.

拓展2已知，如图所示，在正方形ABCD中，点E在对角线DB上，点F在CB的延长线上，且AE⊥EF.

求证：AE=EF.

设计意图：本题以正方形为图形框架，点E在正方形的对角线上，从而通过点E向∠B的两边作双垂线段，利用AE⊥EF，找到特殊角，构造全等三角形得证.

三、教学导向分析

（一）溯本求源，带学生领悟概念的本质内涵

对教材中的题目进行改编，笔者以为它至少有两大好处：一是可以引导教师努力钻研课标和教材，提高教师教学研究意识，有效防止用网络资源代替自己思维的弊病.二是切实减轻学生过重的课业负担.

“数学课程不仅包括数学的结果，也包括结果的形成与应用的过程和蕴含的数学思想方法”.这意味着“过程”是数学课程内容的有机组成部分.教师在讲解几何图形习题的过程中，给学生足够的时间与空间，让他们去探究、去交流、去表达.

（二）知识与思想方法结合

数学中考评价的主要载体是试题.为此，以能力为立意、关注考查学生数学核心素养的试题逐渐成为近年来中考考题的高频热点.为此，为了深化学生的理解，数学教学理应大力关注解题教学，而数学思想方法是其关键要素.数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括.教师要善于引导学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想.本题学生应该体悟的数学思想方法：特殊到一般的思想，将几何中旋转、对称、全等等方面进行融合，灵活解决几何问题中的变式题目.

（三）变式探究的好素材

利用角平分线作双垂线段的应用非常广泛，如何将这一背景赋予更多的知识应该是教师的追求.纵观近几年的中考试题，体现《课标》理念已是一个重要特征，本题就是一个很好的例证.

数学学习离不开解题，数学成绩好往往体现在解题能力强，会解题则取决于对数学的认识和理解.《课标》中提倡创新意识，指出创新意识的培养是现代数学教育的基本任务.为此，教师要善于挖掘教材、整合教材，创设开放性试题，一题多变，一题多解，让学生在对开放性问题的探索中不断增强发散思维、求异思维，鼓勵学生用学到的数学知识解释日常生活中的数学现象，培养学生思维的宽度和灵活度.