基于“六何”认知链的“正弦定理”教学设计

魏小军　莫倩华　周莹

【摘要】定理教学是高中数学教学的重要组成部分，教学过程应该体现其来龙去脉.本文基于“六何”认知链，围绕定理从哪里来，定理本质是什么，定理与其他相关知识的关系怎样以及如何运用等方面来体现定理教学的连贯性、层序性和操作性的特点，以“正弦定理”的教学设计为例，以期为高中数学定理教学提供理论和教学实践参考.

【基金项目】2016年度广西壮族自治区研究生教育创新计划项目“研究生联动培养模式研究——以数学课程与教学论方向为例”（JGY2016003）广西壮族自治区普通高中学科基地项目部分成果.

我国部分学者通过到一线中学调查研究发现，定理教学存在轻定理的来源，重定理的结果；轻定理的再创造，重定理的训练；轻定理的连贯思维，重定理的解题技巧等问题.这样的教学方法如空中楼阁，看似坚不可摧，实则摇摇欲坠.因此，有效的定理教学过程应该体现层序性以及来龙去脉的连贯性思维.本文基于“六何”认知链对定理教学进行了设计，为定理课堂教学提供参考.

一、“六何”认知链

周莹教授提出的“六何”认知链教学策略，是从问题意识的角度创建的一种认识方法论，主要体现知识来龙去脉的问题性、层序性、操作性和完整性.“六何”认知链包括（从何—是何—与何—如何—变何—有何）[1]，具体内容如下：

“从何”：数学新知从哪里来？其目的在于介绍新知的背景来源，激活新知的生长点和找准教学的起点.涉及的知识和提出的问题一般为记忆性知识；“是何”：新知的本质属性和特征是什么？主要是对概念性知识发问，其目的在于发现问题和把握知识本质，达到对新知的理解；“与何”：新知与旧知有何联系及不同？主要针对原理性和关联性知识发问，其目的在于深化理解，促进知识之间的融会贯通；“如何”：学的效果如何？主要针对程序性、策略性和应用性知识发问，其目的在于检验学情，学以致用；“变何”：主要针对条件、结论、方法的变化进行思考和问题提出和问题变式.其目的在于通过变式拓展，培育学生学会问题提出、促进发散思维能力的提高，以及培养“以不变应万变”的能力；“有何”：這节课学到了什么，有何收获？主要从知识与技能、过程与方法、情感态度价值观角度针对反省认知性知识发问，引导学生回顾、梳理和反思，其目的在于促进新知的同化、顺应，建立良好的认知结构.“从何—是何—与何—如何—变何—有何”它们分别与布鲁姆目标分类学提出的记忆、理解、分析、运用、综合与评价这六个认知目标相一致，具有层序性、连贯性的特点.

六何认知链结构图：

下面以高中人教A版必修5“正弦定理”为例，采用“六何”认知链教学，以学会思考、深入理解定理为主要教学目的进行教学过程设计.

二、“六何”认知链定理教学设计

（一）追溯从何，激活学习心向

基于对“正弦定理从哪里来？”的思考，可以从以下方面来进行问题设计.

创设问题情境：在我国古代，很早就有“嫦娥奔月”的神话故事，我们可以由此联想到一个问题，就是这个漂亮的月亮到我们地球的距离到底有多远呢？其实，早在17世纪的时候，法国著名的天文学家拉朗德就曾思考过这个问题，并且计算出了地月的距离.

问题1：月亮表面到地球表面距离有多远？

问题2：同学们观察图1可以抽象出一个什么样的数学问题，已知有哪些？要求解什么？

问题3：刚才我们抽象出图2的三角形，这个三角形我们直接求解不出来，怎么办呢？

问题4：通过画辅助线转化成求解直角三角形的问题？这是把陌生的问题转化为熟悉的问题的求解，利用化归思想.此外，我们还可以通过今天的学习探究一个定理，能直接解决已知两角及其夹边求解三角形的另外一边的问题等.

【解读】培根说：“史鉴使人明智，欲知大道必先明史，鉴往可以知今，溯其渊源才能察其流向”.故“从何”作为定理教学的起点，对“从何”的思考，创设地月距离的问题情境，提出相应的问题串1，2，3，4，这里教师通过了解定理的出处，引导学生从天文学的应用角度，初步感知新知所蕴含的强大应用价值和科学价值.设置探索三角形边角关系的环节，为本节课的任务挖掘出这个“数学定理”做铺垫.另一方面，引导学生从现实问题中抽象出数学问题，调动学生的数学兴趣，培养学生数学抽象、数学建模的核心素养.

（二）把握是何，发现定理本质

对什么是正弦定理的思考，于是提出探究“是何”相关问题串：

问题1：三角形以角来划分，有哪些类型的三角形？三角形的边与角有哪些等量的关系？同学们还记得初中学习锐角三角函数吗？

问题2：任意的直角三角形ABC中都有asinA=bsinB=csinC成立吗？

问题3：从分类的角度，我们还得探究锐角三角形和钝角三角形，是否有边和所对角的正弦值的比相等呢？

【解读】“是何”，主要是探索新知，理解本质.教师从学生已有的知识经验出发，引导学生建立新旧知识间的内在联系，激活新知的生长点，设置问题1，2，3，引导学生类比初中“锐角三角函数的定义”，从直角三角形中边角的数量关系入手，寻找到边角之间的桥梁，抓住新知的本质特征，进而发现直角三角形中有各边与所对角的正弦值的比相等.这里从数学建模到分析数学建模，有利于学生把握定理特点，发现定理本质.

（三）连接与何，形成数学定理

问题1：猜一猜锐角三角形和钝角三角形的边角有何关系？

问题2：运用玲珑画板动画演示，一般的三角形各边角发生变化的时候，你观察到所有类型的三角形边和它所对角的正弦值的比有什么特点呢？

问题3：你能尝试证明：任意三角形ABC中，都有asinA=bsinB=csinC成立吗？即对于锐角三角形和钝角三角形也成立吗？

【解读】由三角形的多样性初步凸显分类讨论的必要性；从特殊的直角三角形过渡到一般的锐角和钝角三角形.借助玲珑画板展示任意三角形各边所对角的正弦值的比的变化情况，突出“形变神不变”的边角数量关系，感受在一般三角形中都成立，从而进一步验证学生的猜想.但是，光有简单的猜想演示还不够，接下来引导学生利用化归的思想，通过作辅助线的方法，把非直角三角形转化成直角三角形.这里要注意引导学生准确地判断出“作高”，“作高”是衡量其能否将一般情形转化为前面已得证的特殊情形的关键.设置问题串1，2，3促进学生进一步加深正弦定理的理解，体验定理的探究、证明以及定理的应用的联系，从而形成数学定理.

（四）操作如何，检验定理效果

学生学习了正弦定理之后，效果怎样？如何学以致用地思考，首先提出先前组织者的问题：“前面探究学习了正弦定理，下面检查自己的学习效果.”然后提出以下“如何”问题串：

问题1：你会求地月距离了吗？

问题2：已知三角形ABC中，∠A，∠B的大小以及c的值，求a，b的值.

【解读】前面通过“从何”“是何”“与何”的学习，学生已经知道定理的来源背景、本质特征以及相关联的知识.如何将定理学以致用，知行合一，是本节课的关键点.

（五）重视变何，加深定理理解

对问题“变一变”又会怎样的思考，提出“变何”问题串：

问题1：（条件变式）：已知三角形ABC中，∠C=30°，a=2，c=3，求b的值和∠A，∠B的大小.

问题2：（变式拓展）在三角形ABC中，如果已知b，c的长和∠A的大小，如何求∠B，∠C以及a的大小？

【解读】如果前面的“如何”是定理教学的关键点的话，那么“变何”则是课堂的高潮点，“变式拓展”可以帮助学生多角度地理解定理知识本质、总结归纳数学定理的思想方法，使学生实现“知识型”向“智力型”的转化[2].通过对“变何”的思考，问题串1，2分别改变条件、结论以及表征方式进行局部和整体的变式，自然由三角形任意两边与其中一边的对角过渡到三角形任意两边及其所夹的角.变式拓宽了学生的思路，有助于学生创新思维与发散思维的培养，增强学生举一反三，多元归一的变式能力.

（六）挖掘有何，体悟定理思想

对这节课的学习有什么收获与体会，提出“有何”问题串：

问题1：通过正弦定理的学习，学会了哪些知识？体悟到哪些数学思想方法，以后遇到类似的数学问题会这样去思考和提出问题了吗？

问题2：回忆這节的来龙去脉，能梳理画出这节课学习的思维导图吗？还有哪些问题与困惑吗？

【解读】一堂精彩的课就如同一首美妙的曲子，不但要有引人入胜的序曲、扣人心弦的主旋律，还要有一个余音绕梁的尾声[3].通过对“有何”的思考，设置问题串1，2引导学生从知识与技能、过程与方法、情感态度价值观三维目标来对新知进行再认识、升华，串点织网，优化认知结构，达到“课虽尽而趣无穷、思未尽”的效果.

三、“六何”定理教学设计的评析与启示

“六何”认知链的定理教学主要是以“六何”系统作为思考，贯穿于学生的“学”与教师的“教”的全过程.本文以“正弦定理”为例，基于“六何”认知链，设计定理的来源（从何），定理的本质特征（是何），定理与知识相关联（与何），定理学以致用，知行合一（如何），定理拓展变式（变何），定理的学习收获与体会（有何），这样以问题驱动，以正弦定理知识的来龙去脉为主线，循序渐进、自然连贯、拓展提升，有利于激发学生的学习兴趣，调动学生积极思考，鼓励学生在问题中参与、体会、探究.

在应用“六何”认知链的时候，要注意以下问题：首先“六何”问题网络并不是一成不变的，可以根据课堂的变化情况进行适当的调整.其次教师还要重视一些非认知的因素.不仅要教学生“学会”“会学”，还要促进学生“乐学”.最后，教会学生运用“六何”认知链去自主学习、独立思考、自我反思，从而养成一个良好的思维习惯.

【参考文献】

[1]周莹，冯璐，李宗桦.基于“六何”认知策略的数学解题反思[J].中小学课堂教学研究，2017：7-8.

[2]蔡晓纯，何小亚.正弦定理的教学设计[J]中学数学研究（华南师范大学版），2016（7）：1-4，5.