运用辅助角法对动态平衡问题的深入探讨

韩兴乾 喻梅琴

(1.宁夏六盘山高级中学 750011；2.宁夏银川市第六中学 750011)

在矢量运算问题中要经常运用三角函数进行三角形的求解，而在解决共点力动态平衡问题时也往往直接利用三角函数的单调性讨论力的变化情况，这在一般的解决问题中会经常用到.但是在有些问题讨论中当因变量并不与某个简单三角函数直接相关时，这时候有必要用辅助角进行转换，寻找出适合的三角函数关系，从而推断出因变量的变化规律甚至是极值.

典例赏析1 水平地面上有一木箱，木箱与地面间的动摩擦因数为μ(0<μ<1)．现对木箱施加一拉力F，使木箱做匀速直线运动．设F的方向与水平地面的夹角为θ，如图1所示，在θ从0逐渐增大到90°的过程中，木箱的速度保持不变，则( ).

A．F先减小后增大 B．F一直增大

C．F一直减小 D．F先增大后减小

解析 将拉力F沿水平方向和竖直方向正交分解，由平衡条件可得如图2所示.

图1 图2

Fcosθ=Ff

Fsinθ+FN=mg

Ff=μFN

当θ由0逐渐增大到90°的过程中，(α+θ)先由α增加到90°，此过程中sin(α+θ)先增大，使得拉力F随之减小.而后θ继续增加，(α+θ)会超过90°，所以sin(α+θ)将会减小，所以拉力F会随之增大，A正确．

答案 A

拓展训练 一个质量为1 kg的物体放在粗糙的水平地面上，今用最小的拉力拉它，使之做匀速运动，已知这个最小拉力为6 N，g=10 m/s2，则下列关于物体与地面间的动摩擦因数μ，最小拉力与水平方向的夹角θ，正确的是( ).

图3

解析 由于物体在水平面上做匀速直线运动，随着拉力与水平方向的夹角α的不同，物体与水平面间的弹力不同，因而滑动摩擦力也不一样．而拉力在水平方向的分力与摩擦力相等．以物体为研究对象，受力分析如图3所示，因为物体处于平衡状态，水平方向有Fcosα=μFN，竖直方向有Fsinα+FN=mg.

当α+φ=90°，即α=arctanμ时，sin(α+φ)=1，F有最小值；

答案 B

拓展迁移 如果将斜向上的拉力改为斜向下的推理，问题的讨论将变得更为复杂！

典例赏析2 如图4所示，用与水平方向成θ角的推力F作用在物块上，随着θ逐渐减小，直到推力变为水平的过程中，物块始终沿水平面做匀速直线运动，关于物块受到的外力，下列判断正确的是( ).

A．推力F先增大后减小

B．推力F一直减小

C．物块受到的摩擦力先减小后增大

厚萼凌霄种子的萌发情况可以通过它的各项生理指标（发芽率、发芽势、发芽指数、简化活力指数）反映出来[10]。

D．物块受到的摩擦力一直不变

图4 图5

原解析 对物体受力分析，建立如图所示的坐标系．由平衡条件得Fcosθ-Ff=0

FN-(mg+Fsinθ)=0

又Ff=μFN

答案 B

解析补充 通过构造辅助角α，令

此时若只考虑余弦函数的单调性，当θ由90°逐渐减小到0的过程中，(α+θ)先由大于90°减小到90°，此过程中cos(α+θ)先减小，使得拉力F随之增大.而后θ继续减小，(α+θ)会小于90°，所以cos(α+θ)将会增加，所以拉力F会随之减小，即推力F先增大后减小得选A.是什么原因呢？是答案错了吗？？

于是将通过构造辅助角将三角函数转换成正弦函数在讨论：

考虑正弦函数的单调性，若θ<α,当θ逐渐增减小到0的过程中，(α-θ)先由也随之增大，此过程中sin(α+θ)也增大，使得拉力F随之减小.B选项对.但θ如果大于α，则随着θ逐渐增减小到0， sin(α+θ)将会先减小后增加，所以推力F先增大后减小，又得选A.

由此可见，影响F变化趋势的不是函数的形式，而在于θ和α的大小对比关系.

通过查阅以前的大量的测试题，发现2012年全国2卷曾考察过相关的问题，引用此题结论，疑难将迎刃而解.

图6

名题赏析，运用举例：(14分，2012宁夏卷)

拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具(如图6).设拖把头的质量为m，拖杆质量可以忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数μ，重力加速度为g，某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ.

(1)若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小.

(2)设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ.已知存在一临界角θ0，若θ≤θ0，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动.求这一临界角的正切tanθ0.

解：(1)设该同学沿拖杆方向用大小为F的力推拖把.将推拖把的力沿竖直和水平方向分解，按平衡条件有Fcosθ+mg=N①Fsinθ=f②

式中N和f分别为地板对拖把的正压力和摩擦力.按摩擦定律有f=μN③

(2)若不管沿拖杆方向用多大的力都不能使拖把从静止开始运动，应有Fsinθ≤λN⑤

这时①式仍满足.联立①⑤式得

现考察使上式成立的θ角的取值范围.注意到上式右边总是大于零，且当F无限大时极限为零，有sinθ-λcosθ≤0 ⑦

使上式成立的θ角满足θ≤θ0，这里θ0是题中所定义的临界角，即当θ≤θ0时，不管沿拖杆方向用多大的力都推不动拖把.临界角的正切为tanθ0=λ⑧