芬斯勒黑洞矢量粒子的隧穿辐射

李慧玲, 宋德文

(1. 沈阳师范大学 物理科学与技术学院, 沈阳 110034;2. 沈阳师范大学 辽宁省射线仪器仪表工程技术研究中心, 沈阳 110034;3. 电子科技大学 物理学院, 成都 611731)

0 引 言

早在20世纪70年代,贝肯斯坦[1]和霍金[2]发现了黑洞的热力学,这表明黑洞具有热辐射。自从史蒂芬.霍金[3]提出霍金辐射理论后,广义相对论、量子力学和统计热力学建立了显著的关系,人们提出了多种研究遂穿辐射的方法[4-13],证明了黑洞确实具有温度, 黑洞物理学的研究也越来越受到人们的关注。

近些年来,黑洞的量子隧穿方法(该方法由帕里克和威尔切克提出[14])已经引起了很多人的研究兴趣,这种方法是研究霍金辐射的重要方法之一。此方法中虚数部分作用是用零测地线方程计算的。张和赵[15]将这种方法推广到雷斯纳-诺德斯特罗姆黑洞和克尔-纽曼黑洞[16-17],Angheben等[18]也提出了一个推导。从哈密顿-雅可比方程中计算粒子的经典动作,得到了霍金辐射。Padmanabhan等[19-20]做了复杂路径分析的推广。

显然,黑洞不仅辐射标量粒子和狄拉克粒子,还能辐射矢量粒子。最近,人们通过利用矢量粒子动力学遵循的Proca场方程,应用量子遂穿方法研究黑洞矢量粒子的遂穿辐射[21-27]。本文将尝试利用此方法讨论Finsler 引力理论下Rutz-Schwarzschild黑洞的矢量粒子遂穿辐射。

1 芬斯勒黑洞的矢量粒子隧穿辐射

在芬斯勒几何框架下,Rutz[28]于1993 年研究了Finsler时空中推广的爱因坦真空引力场方程,得到了一个球对称的Rutz-Schwarzschild黑洞解,其时空线元为

ds2=-fdt2+h-1dr2+r2dθ2+r2sin2θdφ2

(1)

其中f=(1-2M/r)(1-εdΩ/dt),h=1-2M/r,ε≪1。-εdΩ/dt是对Schwarzschild黑洞的芬斯勒修正。很明显r+=2M是芬斯勒黑洞的事件视界,而且线元的时间分量不仅与时空坐标有关,还与切矢量-εdΩ/dt有关。利用此度规,本文尝试探讨矢量粒子的量子隧穿。为了方便起见,重新设定等式(1)为

ds2=A(r)dt2+B(r)dr2+C(r)dθ2+D(r)dφ2

(2)

其中设定A(r)=-f,B(r)=h-1,C(r)=r2,D(r)=r2sin2θ。时空线元的协变度规如下:

(3)

度规张量的行列式为

g=ABCD

(4)

gαβ的代数余子式写为Δαβ。当g≠0时,可以定义逆变度规张量为

(5)

利用等式(5),可以得到度规张量的逆变分量为

(6)

由ψv=gμvψμ和ψμv=ψαβgμαgβv可以得到不为零的分量ψv和ψμv为

(7)

根据Kruglov[21-22],弯曲时空中矢量粒子的动力学行为由Proca方程描述:

(8)

这里:Dμ是协变导数;ψv与ψt,ψr,ψθ,ψφ有关系;m是矢量粒子的质量;ψuv是个反对称张量,它等于

ψvu=Dvψu-Duψv=∂vψu-∂uψv

(9)

因此,等式(8)能被改写为

(10)

把等式(7)和等式(9)带入到等式(10)中,得到

为了解方程(11)～(14),ψv被表达成如下形式[29]:

(15)

n=1,2,3…。利用WKB近似的方法,忽略掉ћ的高阶项,得到

(16)

同时由等式(9)能得到

(17)

接下来把式(16)和式(17)带入到式(11)～式(14)中得

这些方程直接求解很困难,考虑到时空的对称性,采用如下分离变量[30]:

S0=-ωt+W(r)+Θ(θ)+jφ

(26)

其中,j和ω[31-32]分别是遂穿粒子的质量和角动量,把等式(26)代入到等式(22)～(25)中并整理得到以ћ为主导的4个方程:

等式(27)～(30)即为矩阵方程:

(31)

等式(31)中的Λ是一个4×4的矩阵,它由以下组成:

(32)

其中W′=∂rS0和j=∂φS0,当Det(Λ)=0时,等式(31)有解:

(33)

其中X=ABD(∂θΘ)2+ABCj2+ABCDm2。+代表遂穿粒子的出射解,反之代表入射解。因此,遂穿率为

(34)

利用如下公式:

Γ=exp(E/T)

(35)

其中E和T分别是发射粒子的能量和温度,能计算此黑洞的霍金温度为

(36)

2 结 论

本文利用量子遂穿方法讨论了Finsler黑洞的矢量粒子遂穿行为。所讨论的Finsler黑洞是Finsler理论爱因斯坦真空场方程的一个解,研究结果表明Finsler黑洞矢量粒子的遂穿率与霍金温度除了与黑洞的质量有关,还与Finsler时空背景的性质和隧穿粒子的能量有关系。通过比较得到的结果与Finsler黑洞的标量和费米子的遂穿结果,发现遂穿率与霍金温度都相同。需要说明的是本文用Proca场方程对Finsler黑洞的矢量粒子隧穿辐射进行了研究,在研究过程中,忽略了ћ的高阶项对研究结果的影响,这是一种近似的计算,希望以后能够更加深入的研究。