从四则运算看各种“数”的由来

张海燕

（作者单位：江苏省海安市李堡镇初级中学）

回顾从自然数开始，再加上分数、负数、无理数，直到成为实数的发展过程，可以说它很像是许多涓涓细流汇成一条大河（如图1）.

自然数添上分数，再添上负数就成了有理数；有理数再加进无理数就成为实数.

那么，为什么在数的世界里，要从自然数扩大到实数呢？细细一想，这里有个一贯的原则.比如说，有一个人只知道10以内的数：

1，2，3，…，10.

对这个人来说，即使取其中任意两个数相加，他也有可能答不上来.如果是2+3，他知道是5；要是6+7的话，他就只好说“不知道”了.即使他知道10000以内的数也一样无法解答，因为6000+7000的答案不在10000以内.

因此，为了无限制地进行“+”运算，就必须有无限多的自然数.这样就产生了所谓无限多的自然数的整体想法，这就是1，2，3，……

想象有这样一个自然数的整体，就可以自由地进行“+”运算了.这时，自然数的整体对于“+”来说叫做闭合.由于乘法也是自然数的相乘，是加法的重复，因此也能自由地进行，也就是说自然数的整体对于“×”是封闭的.所以在只考虑“+”或“×”的时候，只要自然数够用，就没有必要再考虑新的数.

图1

可是要考虑“×”的逆运算“÷”的时候，自然数就不再封闭了.因为任意取两个自然数作除法，结果却不一定是自然数.例如2÷3的结果就不是自然数.这时自然数的范围就太狭窄了，要想自由地进行除法运算，就必须增加新的数，这就是分数.在自然数与分数合起来的更宽广的数的范围内，“+”“×”“÷”就可以自由地进行运算.

然而，想到“+”的逆运算“-”的时候，这个范围又窄了，因为不能用小数减去大数.例如2-5，即使写出这个式子，也得不出答案.

为了让这个式子也能有答案，就必须想出-3这样一个新数.也就是说要自由地做“-”运算，需要有一种新的数——负数.

把数的范围扩大到正的自然数、负的自然数及分数，即有理数时，“+”“-”“×”“÷”四则运算就可以自由地无限制地进行，换句话说，有理数对于四则运算是闭合的.

当数的世界扩展到有理数时，“+”“-”“×”“÷”的计算虽然能自由地进行，但是还不具有连续性，所以仍然不能表示直线上所有的点.填满这些空缺就需要无理数.有理数与无理数合起来就是实数.有了实数就可以表示数轴上所有的点（也就是同学们熟悉的实数与数轴上的点是一一对应的关系）.