浅析一题多解的重要性

林小琴

【摘 要】在解题教学中，一题多解的教学，在为该类题目提供通法的同时，激发了学生的求知欲，使学生养成从多角度、多层次思考问题的习惯，培养了其思维的灵活性，从而由掌握知识向形成能力方向上转移。

【关键词】多角度；一题多解

数学教育家波利亚指出：“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练。”这说明了数学解题教学的重要性，而在具体的解题教学中，就题论题的教学，学生掌握这类题求解方法的牢固程度显然是有限的，这个时候一题多解的教学就显得尤为重要了，它为这类题型的求解提供通法的同时，引导学生从多角度、多方向思考问题，培养了学生的创新思维。下面本人结合一道课后练习，论述一题多解教学的重要性。

原题呈现：如图，E是△ABC的中线AD上的一点，CE交AB于点F，已知AE：ED=1：2，求的值。

思路点拨：本题已知两线段之比，求两线段之比值，容易联想到由平行推比例。又因为本题中并没有平行线，这个时候怎样添加辅助线就成为解题的关键所在，常规的方法自然是过已知点作已知线段的平行线，构造基本图形，“A”型或“X”型，再利用三角形一边平行线的性质定理和推理进行求解。

解法梳理：

解法一：如图一，过点D作DG//CF，交AB于点G，则==；

又∵AD为BC边上的中线∴BD=DC；

由DG//CF得==1即BG=GF

∴==。

如果这道题的解题教学仅仅到这里，还是远远不够的。显然学生的心里还会有诸多疑问“为什么一定要过D点作DG//CF？是否可作DG//AC？过D点还能作哪些线段的平行线？过其它点可以吗？哪些点可以呢？”等等。如果不彻底解决学生心中的疑问，下次碰到类似的问题，他们还是会出错，我们课堂教学就没办法达到预期效果。因此，接下来的教学很有必要。

引导学生反思：过D作DG//CF作平行线时，构造了几组基本图形？此处是否可作DG//AC？学生试探后发现，这种辅助线仅构造了一个基本图形“A”型，而条件AE：ED=1：2无法用上，从而问题得不到求解。那么过D点还能作哪些线段的平行线？

解法二：如图二，过点D作DH//AB，交CF于点H，则==，即DH=2AF；

又∵AD为BC边上的中线 ∴BC=2DC；

由DH//AB得==；

即BF=2DH=4AF；

∴==。

引导学生反思：

解法一构造的基本图形和解法二构造的基本图形一致吗？对比解法一和解法二发现，这类题型，解题方法是什么？过D点还能作其它已知线段的平行线吗？还能怎么作平行线？

经过对上面的两种解法的总结，学生初步掌握了该类题型的解题方法。“还能怎么作平行线？”这个问题实际上是为激发学生求知欲所铺设的，让学生形成举一反三的思维习惯。

下面的四种解法，分别由学生尝试过点A、过点B、过点C作平行线所得。

解法三：过点A作平行线

如图三，过点A作AP//CB，交CF的延长线于点P，则==，即CD=2AP；

又∵AD为BC边上的中线；

∴BC=2CD=4AP；

由AP//CB得===；

即=。

解法四：过点A作平行线

如图四，过点A作AQ//CE，交BC的延长线于点Q，则==即CD=2CQ；

又∵AD为BC边上的中线，∴BC=2CD=4CQ；

由AQ//CE得===即=。

解法五：过点B作平行线，可让学生说明为什么不作BM//AC？

如图五，过点B作BM//CF，交AD的延长线于点M；

∵AD為BC边上的中线∴BD=CD；

由BM//CF得=，==1，

即DE=DM

∴===即=。

解法六：过点C作平行线

如图六，过点C作CN//AB，交AD的延长线于点N；

∵AD为BC边上的中线 ∴BD=CD；

由CN//AB得===1，即AB=CN，AD=DN；

而AE：ED=1：2，即ED=2AE，AD=3AE∴DN=3AE，EN=5AE∵CN//AB；

∴==即CN=5AF∴AB=5AF，BF=4AF；

即=。

经过上面六种解法的多角度分析，进而不断思考、论证，学生已不但牢牢掌握了这类题型的解题方法和解题规律，也从掌握知识向形成能力方向发展，达成了我们解题教学的目标。考虑到点D是BC边的中点，解法五和解法六的辅助线也可以换一种陈述方式，如：解法六的可以换成延长AD到N，使得DN=AD，连接CN，虽然图形实质上是一样的，但是这样一来就与另一类题型，遇到中点，就单倍延长的方法做到了融会贯通，学生在感受知识之间内在联系的同时，一定会有“豁然开朗”的顿悟，这也是我们求之不得的。

总之，如果我们的解题教学能从多角度、多层次地分析、理清问题的实质所在，重视一题多解教学，就能大大激发学生的探索精神、求知欲望，养成学生由此及彼，举一反三的学习习惯，学生分析问题和解决问题的能力就能得到大大的提升。