双侧伽玛分布在股指收益率中的应用

雷 鸣，陈汉涛，叶五一

（1.南京财经大学 金融学院，南京 210046；2.中国科学技术大学 管理学院，合肥 230022）

0 引言

对股票指数收益率的分布进行研究,不仅能够了解股市的变化趋势,而且有助于度量股市的风险。传统主流的金融理论均以“有效市场假说”为基石，它假设金融资产收益率服从正态分布，同时也正是因为正态分布具有良好的性质，使其在金融学的研究中具有重要地位。可是国内外大量研究均表明：绝大多数金融时间序列数据的分布均存在有偏、尖峰厚尾的特征以及波动的集聚与非对称等性质，因此也就不服从正态分布的假定。

本文在以往相关研究的基础上，直接运用双侧的伽玛分布来拟合上证指数和深成指数的日收益率数据，发现股市在一定的趋势过程中，伽玛分布能够很好地拟合指数的双侧日收益率，并在此基础上将伽玛分布引入到VaR和CVaR的应用中。

1 伽玛分布的股指收益率拟合

本文研究了2005年7月11日至2015年6月12日的上证指数(szzs)和深证成指(szcz)。记{Pt，t=1，2，3，…} 为股指日收盘指数序列，其股指收益率序列采用具有良好统计特征的对数收益率形式表示,即:rt=lnPt-lnPt-1，t=1，2，3，… ，其中，{rt，t=1，2，3，…} 表示日收益率数列。通过表1可知，不论是上证指数，还是深证成指的峰度，都大于标准正态分布的3。从表1可知，上证指数和深证成指的JB统计量为1365.637和675.9744，且p值为0，即上证指数和深证成指存在明显的尖峰现象，正态分布拟合的效果很差。

表1 上证指数和深证成指的描述性统计

因此本文采取伽玛分布对收益率日数据进行拟合。若随机变量X的密度函数为：

则称X服从伽玛分布，记为X～Γ(α，β) 。其中，α 称为形状参数，α＞0；β称为尺度参数，β＞0称为伽玛函数。

可以将单侧伽马分布的密度函数写为：

得到股指日收益率数据后，在不同股市状态下，即在牛市和熊市中，指数持续涨跌收益率的分布是不一样的。因此，本文预计每日收益率的分布同样会受到股市状态的影响，故将日收益率按照明显的上涨或下跌趋势分成五个时间段，分别为2005年7月12日到2007年10月16日、2008年11月5日到2009年8月4日、2014年6月20日到2015年6月12日的三个上升趋势阶段；2007年10月17日到2008年11月4日和2009年8月5日到2014年6月19日两个下降趋势阶段。然后分别对每个时间段上涨和下跌的日收益率进行伽玛分布的最大似然估计，得到参数后，再对参数进行拟合优度的检验。由于这里伽玛分布为一维分布，所以选择了具有较好效果的K-S检验，并根据K-S检验的p-value数值对伽玛分布的参数进行进一步的微调，通过调整使得p值达到最大。所得结果见表2和表3。

表2 上证指数的伽玛分布拟合结果与k-s检验

表3 深成指数的伽玛分布拟合结果与k-s检验

从表2和表3可以看出，基于伽玛分布的沪深指数日收益率的拟合p值基本上大于0.7，不能拒绝原假设，很多时候p值大于0.9,即可认为沪深两市日收益率序列能很好地服从双侧的伽玛分布。同时也发现上涨和下跌的收益率分布是不同的，这也表明了收益率是非对称的。在得到股指收益率的单侧伽马分布之后，就可以利用双侧伽马分布，写出在一个趋势中整体的收益率的分布函数。

在得到每日收益率的分布后，就可以计算出每日收益率的理论均值和标准差，可以计算不同趋势阶段的上涨和下跌分布的均值和标准差(μ,σ)，并与实际值做比较（过程略）。既然得到了股指收益率双侧的分布，那么就可以求出理论上整体分布的均值与方差。在得到每日收益率的分布后，还可以对每日涨跌做出概率推断，也可以得到每日涨跌的置信区间。

2 考虑成交量因素的股指涨跌概率推断

本文在以往研究的基础上，直接研究每日成交量对股指每日上涨和下跌收益率的影响。

假设上涨或下跌的收益率X服从伽马分布，即：

那么可以将上式改写为：

一般假设尺度参数β受协变量即成交量V的影响，并且假设是一种线性关系，而形状参数α与协变量没有多大影 响 。 即Z=log(X)=log(ν)+e，进 一 步 假 设 为Z=γ+δν+e。

使用最小二乘法对上述方程进行估计，以2009年8月5日到2014年6月19日的一个较长时期的上证指数日收益率数据为例。在这一时期，可以得到上涨时期γ=-2.4742 ，δ=0.0038 ，且 p值均为0.0000在1%的水平上显著；同理可得下跌时期的γ=-2.2112，δ=0.0015，其中γ的p值为0.0000在1%的水平上显著，δ的p值为0.0212，在5%的水平上显著。此时，上涨或下跌的单侧收益率的伽马分布就可以改写为：

由此可以计算出上证指数在2009年8月5日到2014年6月19日时期不同成交量下上涨收益率的概率,见表4。

表4 上证指数不同成交量下上涨收益率落在不同区间的概率

对于下跌收益率，也可以得到同样的结果（过程略）。从计算结果可见，成交量确实对上涨或是下跌的幅度产生影响,即成交量较大时,上涨收益率或是下跌收益率落在较大值范围内的概率也较大，这表明了成交量对于上涨和下跌趋势具有促进作用。

3 伽玛分布在VaR和CVaR中的应用

3.1 基于伽玛分布的VaR理论值与实际结果

VaR即风险价值,可定义为在一定的持有期及一定的置信度内,某一投资组合所面临的最大潜在损失的估计值。用数学公式表示即为Prob(ΔPΔt≤-VaR)=α。其中,ΔPΔt表示在Δt时间内某个投资组合的市场价值的变化;α为给定的概率。即对某个有价证券或组合,在市场条件下,对给定的时间区间和置信水平,VaR给出了该有价证券或组合最大可能的预期损失。

由于已知收益率服从双侧的伽马分布，假设收益率服从的总体分布为Y(y)，上涨时服从Γ(α1,β1)的伽马分布,下跌时服从Γ(α2,β2)的伽马分布。那么给定的概率为θ时，VaR可以用数学公式表示为：P(y≤-VaR)=θ，由于Y(y)为总体的分布，在实际的应用中不易求得，因此，本文将其化为单侧部分收益率的伽马分布来计算。由上文已知，根据在一段趋势中的n个观测值，其中n1个观测值为正收益率，n2个观测值为负收益率，那么可以给予上涨和下跌的概率分别为。令P(x～X1)=p1为在一段趋势中上涨的概率；令P(x～X2)=p2为在一段趋势中下跌的概率。当θ≤p2时，VaR落在总体分布的下跌部分，此时对VaR的求解可以通过下跌的单侧收益率求解。由条件概率公式可得：P(y≤-VaR)=θ=P(y≤-VaR|y～Y)=P(x＞VaR|x～X2)∙P(x～X2)，即P(y≤-VaR)=P(x＞VaR|x～X2)∙p2，那么可以得到。上述概率用概率密度表示即为：

因此，求解上述方程即可得出VaR；当θ＞p2时，VaR落在总体分布的上涨部分，此时在给定的θ前提下，不存在损失部分，因此也就不存在VaR，所以本文不做讨论。综上所述,VaR的求解可以表示为：求解即可得到VaR。

下面将伽马分布下的VaR模型引入到上证指数和深证成指投资组合的实例计算，基于指数日收益率的变化，从而计算整个指数投资组合的VaR值。采用的数据样本为2009年8月5日到2014年6月19日的一个较长时期的日收益率数据，此时上证指数上涨的收益率服从参数为Γ(1.0676,0.0083)的伽马分布；下跌的收益率服从参数为Γ(1.0759,0.0091)的伽马分布。深证成指上涨的收益率服从参数为Γ(1.1759,0.0100)的伽马分布；下跌的收益率服从参数为Γ(1.0622,0.0110)的伽马分布。在对置信度的六个不同取值基础上，得到不同的理论VaR值。上证指数所得结果如表5所示，深证成指的结果略。

表5 上证指数每日的理论VaR值与实际VaR值 (单位：%)

从表5的结果可以看到，通过双侧的伽马分布求出的理论VaR值与根据样本数据得到的实际VaR值并无太大出入，这说明了伽马分布能够较好地应用于VaR的计算，并且在极端值方面也可以较好地拟合收益率的厚尾现象，这也从侧面说明了伽马分布能够较好地拟合指数收益率分布。

3.2 基于伽玛分布的CVaR计算和实际效果

CVaR(Conditional Value at risk)方法，也称条件在险价值或平均超额损失，是指在一定的期限和置信水平下，某项金融资产或证券组合所面临的超过VaR的平均损失，可表示为:

其中，c为置信水平，x为资产或资产组合的损失；f(x)为损失x的概率密度函数，VaRc为置信水平c下的风险价值。

本文将伽玛分布的概率密度代入CVaR的定义式，就可得基于双侧伽玛分布下股指收益率的CVaR值：

在得到股指收益率双侧伽玛分布拟合结果和理论VaR值的基础上，通过上式，同样借助数学软件mathematica就能够得到相应置信水平下的理论条件在险价值(CVaR)。而实际CVaR的计算就相对简单，只需计算实际损失超过实际VaR值的平均损失即可，借助于excel软件就可以快速地求出每种股指各阶段各置信水平下的实际CVaR值。

通过计算比较发现，股指不同阶段的收益率在各个置信水平下的理论与实际CVaR值都非常接近，这说明双侧伽玛分布能够很好地应用于CVaR模型中。

4 结论

本文选用伽马分布对股指收益率进行了双侧拟合，结果发现：（1）沪深股指日收益率数据服从双侧的伽马分布，并且收益率的双侧分布也能在一定程度上反映股指收益率的不对称性。（2）成交量对于单侧收益率具有促进作用，即更大的成交量导致了更大的上涨幅度或是下跌幅度。（3）在得到日收益率服从伽马分布的基础上，本文对上证指数和深证成指投资组合在不同置信水平的VaR和CVaR进行了实例计算。结果表明将伽马分布用于我国股票市场的VaR和CVaR度量具有可行性，且可以有效避免收益率厚尾现象的影响，从而提供了一种基于双侧伽玛分布的风险度量方法。