柯西积分公式的推广及应用

王振华，张为元，贺 雯

（咸阳师范学院 数学与信息科学学院，陕西 咸阳 712000）

柯西积分公式是计算复变函数积分的有力工具，它揭示了解析函数在定义域的界点和内点上值之间的关系，可以把对解析函数的研究转化成对柯西型积分的研究。代数学基本定理用纯粹代数的方法是不容易证明的，但如果从高阶的柯西积分公式着手，则证明过程简洁易懂[1]125。因此，柯西积分公式在理论研究和积分计算上都很重要，一直是专家学者研究的热点。朱茱等[2]介绍了柯西主值积分和Holder条件，并给出了奇点在积分路径上的柯西积分公式，但没有给出公式的证明；易才凤等[3]举例说明了柯西积分公式在复数计算中的应用；刘志宏[4]给出了积分曲线内含有多个奇点时的柯西积分公式，但仅局限于奇点是m阶极点的情况；吴立鹤等[5]将分子函数分别在其奇点处展开成罗朗级数，并选取展开式的主要部分，再将被积函数的奇点代入求函数值，巧妙地避免了计算复杂的高阶导数的情况；赵天玉等[6]进一步将吴立鹤等人的结果进行了推广。张健[7]介绍了柯西积分公式在实变函数中的应用,极大简化了无穷积分和瑕积分的计算；王晓婵等[8]针对现有的血管分割方法误差较大的问题，提出了一种新的基于八元数柯西积分公式的血管分割新算法。赵晓辉等[9]利用柯西积分公式证明了在偏微分方程中有重要应用的泊松积分公式。本文从3个不同角度出发，分别在复周线、高阶形式、无界域上推广了柯西积分公式，极大地简化了具有多奇点的复积分计算问题。

1 柯西积分公式推广到复周线情形

引理1[1]114设D是由复周线C=C0++…+围成的n+1连通区域，函数 f()z在D内解析，在 Dˉ=D+C上连续 ，则

（沿外边界的积分等于没沿内边界的积分之和）。

引理2[1]117（柯西积分公式）设区域D的边界是周线C，函数 f()z在D内解析，在Dˉ=D+C上连续，则有

定理1（推广到复周线的柯西积分公式）已知复周线C由外周线C0和内周线C1，C2，…，Cn构成，复连通区域D由复周线C围成。如果函数 f()z在区域D解析，在闭集Dˉ=D+C上连续，那么对任意的z∈D，都有

运用推广的柯西积分公式时，如果有两个以上奇点，可先将被积函数分解为部分分式，使分解得到的每个分式函数在C内只有一个奇点，这时就可以用柯西积分公式求解了。

2 高阶柯西积分公式的推广

当被积函数在C内包含多个奇点时，高阶柯西积分公式（引理3）就不再适用了。

引理3[1]121设区域D的边界是周线C，函数 f(z)在D内解析，在Dˉ=D+C上连续，那么函数 f(z)在区域D内有各阶导数，并且有

这是一个用解析函数 f(z)的边界值表示其各阶导函数内部值的积分公式。

引理4[1]221设a为 f(z)的n阶极点，

其中ϕ(z)在点a解析，ϕ(a)≠0，则

这里Res[f(z),a]表示 f(z)在点z0的留数。

引理5[10]（柯西留数定理）函数f(z)在周线或复周线C所围区域D内，除a1,a2,…,an外解析，在闭域Dˉ=D+C上除a1,a2,…,an外连续，则

如果被积函数在积分曲线C内的奇点是m阶极点，那么高阶的柯西积分公式就沟通了函数ϕ(z)在边界C上的函数值与其m-1阶导函数在极点处的函数值之间的关系。下面，将引理3推广到积分曲线内具有多个极点的情况。

定理2如果C为简单周线，f(z)在C及其内部解析，且a1,a2,...,an在C的内部，那么

其中被积函数

在周线C内有n个极点ak，nk表示ak的阶数，函数

在极点ak处解析，且φk(ak)≠0。

证明：因为ak是g(z)包含在C内的nk阶极点，所以由引理4知

所以由引理5知

3 无界区域中的柯西公式

定理3设 f(z)在某一闭合曲线C的外部解析，并且当z→∞时 f(z)一致地趋于零，则对C外部的任意一点a有

证明：设E(C)表示闭合曲线C的外部无界区域（含∞点），则 f(z)在E(C)内解析。因为

现在，对 ∀a∈E(C)，∃ρ＞0，s.t.ρ- ||a ＞δ 成立。作圆周Cρ: ||z-a=ρ,使得闭曲线C包含在圆周Cρ内部，那么 f(z)在以C和Cρ为边界的区域内解析，由定理1得到

4 结论

柯西积分公式是在复变函数论中很重要的一个公式，是研究解析函数各种局部性质的重要工具。它给出了解析函数的积分表达形式，即函数在区域内任意一点的值可以用沿边界曲线的积分来表示。当奇点在积分曲线上时，如果利用柯西留数定理来推广柯西积分公式，也许会得到更好的结果。