拓展数学思维深度 培养学生探究能力

刘玉强 隋致敏

（本节课荣获东北、华北人教版小学数学核心素养示范课观摩交流会一等奖。）

设计理念：

现代数学课堂除了以数学知识为教学目标外，还要以它为载体，重点发展学生的数学核心素养，进一步拓宽数学思维深度与广度，用数学的眼光看待周围世界，注重培养学生的创新精神和探究实践能力。“三角形三边关系”一课中，通过创设一系列数学活动，让学生真正经历发现、验证、完善的研究过程，目的是使学生体验到三边关系的同时，进一步发展空间观念，体验基本数学事实，培养数学直觉，同时可以使学生感受到探索发现的乐趣，获得成功的喜悦，从而促进学生数学素养的提升。

教学内容：义务教育课程标准实验教科书人教版数学四年级下册第62页。

学情与教材分析：

“三角形三边关系”这一内容是在学生初步了解了三角形特性的基础上，进一步体验三角形的边的关系，为接下来了解三角形的分类及角的关系打好基础。教材通过现实生活情境，使学生先了解到“两点间线段最短”这一公理，然后通过各种数学体验活动得到“三角形中任意两边和大于第三边”的推论。通过课前访谈了解到，学生对生活中“两点间线段最短”这一数学事实非常熟悉，并可以根据这一数学事实解释现实生活中这一类数学现象。

教学目标：

1.借助学生已有生活经验，理解两点间所有连线中线段最短，经历推理、完善、验证等数学过程，体验三角形三边关系。

2.借助画一画、算一算、拼一拼等数学活动，使学生从数学的角度发现客观事实，积累数学活动经验，培养学生自主探索、动手操作、合作交流的能力。

3. 初步体会简单的数学推理和证明方法，培养学生数学直觉，渗透建模思想。

教学重、难点：理解、体验三角形的任意两边和大于第三边。

教学准备：多媒体课件、铁丝、活动三角形。

教学过程：

一、借助生活经验，感受数学事实

师：孩子们，上课开始，我们先看看老师每天早上从家去学校有几条路可以走，哪条路最近呢？

生：3条路，中间最近。

师：你有什么办法能比较出来中间这条路最近吗？

生：用尺来测量一下长度。（实地去测量一下可以验证，还有不同的办法吗？）

生：把线拉直比较一下。

师：这就有路线的模型，你能边操作边说吗？

生：这条直的近，弯的远。所以……（思路清晰，表达清楚。 ）

师：通过刚才的观察和操作，你能再说说你知道了什么？

生：两点间直线最短。（那两点之间直的这条线我们可以称作线段，你能再说说吗？）

生：两点间线段最短。

师：根据生活经验，我们知道了两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度就叫做这两点间的距离。看来我从家去学校这条路最近，如果从家去别的地方，你还能提出一个类似的问题吗？

评析：学生借助已有的生活经验，能用自己的话说出两点间线段最短，能理解这个数学事实，调动生活经验认识理解公理，做好推测推论的知识准备。同时也让学生感受到生活中处处有数学，数学可以从不同的角度对生活现象进行解释说明。

二、借助数学事实，推测三角形三边关系

师：通过这个实际的问题我们可以抽象出一个几何图形，想象一下，是什么图形？（三角形。）

师：对，三角形，如果用a、b、c分别表示这3条边的长度，根据刚才的生活经验和我们探索出的这个结论，你能推测一下三角形三条边的长短存在怎样的关系吗？请你独立思考一下，再和你同桌说说。

师：（生答a+b>c。）他认为三條边有这样的关系，你们也是这样想的吗？那你是怎样想到的呢？

师：刚才拉直的方法给你留下了深刻的印象，那我们刚才有结论吗，你能再说说吗？像这样的关系，三角形中你还能找到吗？（a+c>b。）（从邮局到学校 b+c>a。）

师：（生答a>b>c。）你观察的是这个三角形，无论什么样的三角形都有这样的关系吗？（出示课件。）把你的目光和思考放在3条边上。

…………

师：同学们推测出了三角形三边有这样的关系，那你能用一句话概括地说说吗？

师：（板书：三角形两边之和大于第三边。）你们同意吗？

师：所有三角形三边都有这样的关系吗？（不一定。）我们还是不要轻易下结论，要验证一下，你有什么好办法？（和你同桌商量商量。）

生：画一个三角形，量一量。

师：画一画算一算，用数据说话，有理有据思路真棒。还有别的方法吗？

生：用小棒摆一摆。

师：小棒拼摆实际动手操作，用事实说话，有谁想用画一画算一算的方法？

评析：根据“公理”推测三角形的三边关系，由生活经验进行猜想，尊重学生的已有生活经验，尊重三角形三边关系的逻辑起点是公理。

三、借助数学活动，验证数学推论

师：现在我们就画一个三角形，别着急，现在是信息技术时代，软件可以代替我们动手画动手量，方便极了。这个软件叫几何画板，它可以画出任意的一个三角形，而且还能测量长度。

师：那我说开始，你说停，我们让它任意地画出一个三角形。这个三角形三边有这样的关系吗，请你来判断一下。

师：（只说一组。）他判断出了其中一组的关系，还有吗？

师：看来这个三角形确实符合两边的和大于第三边。

师：好，我们再换一个三角形。这回同桌互相算一算，说说这个三角形中有这样的关系吗？谁来说说你的结论？

师：如果再任意地画一个三角形，它的三边关系是（ ）。

评析：借助几何画板这一现代技术手段，从已知三角形中进行验证，使学生初步感知三角形中任意两边和都大于第三边。几何画板的任意性反应出规律的普遍性，不完全归纳法进行验证。

师：通过以上探究，在已经画好的三角形中，我们发现了三角形三边的关系。现在这样，我们换一种思考角度行不行，用线段去围三角形，进一步去体验、理解三角形三边关系，好吗？

打开1号学具袋，拿出里面的铁丝围三角形，你能想到办法把它围成三角形吗？

生：折。

师：折可以。那现在老师有要求了，只折一次，你能围成三角形吗？看谁围得快。边围边感受三角形的三边关系，看看有没有更深的理解。开始吧。

师：时间到，围成三角形的同学举起你的三角形给大家展示一下，还有没围成的也别着急，是你们的铁丝中存在着秘密。一会看你能不能发现。无论是否围成，宝贵的经验都是收获。

师：1号你折的是两根铁丝中的哪一根？（长的。）2号你折的呢？（长的。）34号呢？围成的同学你们呢？（长的。）你们折的地方都不同，什么变了，什么没变？（长度没变。）你们所说的长度没变，是什么长度没变？（两边的和没变。）

师：围成的同学你们折的都是长的吗？其他同学如果也给你这样的小棒你们也打算折长的吗？为什么都折长的？

生：三角形两边之和大于第三边。

师：看来你们又验证了我们的结论。

（角度：调节角度，能不能围成。今天我们关注的是边长短的关系，关于角度的问题下节课我们就会研究。）

师：折短的行不行？说明三边什么关系时候围不成？（两边之和小于第三边。）

师：看来在已经围成的三角形中，一定会有（ ）一定没有（ ）。带着思考的操作更有价值，你们对这个关系有了更深一步的理解了。两边之和小于第三边围不成。

师：刚才也有没有拼成的同学，是否发现了小棒中的秘密了呢。（两根一样长。）

师：没拼成的同学你们的铁丝都一样长吗？两根一样长为什么拼不成呢？谁来到前面说说？

师：我们都来想象一下，现在让我们闭上双眼，在你的眼前出现了两根一样长的铁丝，轻轻折一根小棒，怎么样了？能围成三角形吗？谁来说一说你头脑中看到了什么？（把其中一根稍微折一下就够不到了。）

师：折短了，你的语言虽然不够精确，但是我们大家都听明白了，佩服。你想说的是端点够不上了。同学们你看到的是不是这样的？（课件展示。）

师：说明三条边什么关系，就围不成？（两边之和等于第三边拼不成。）三角形三边关系一定是（ ）。

师：我还有一个问题。一长、一短（折短的不行，折长的行），无论怎么折都一定行？能说说理由吗？

生：只折一点点。

师：全体同学思考他的想法，折一点点是不是真的拼不成，为什么呢？有这么多同学也想到了。刚才谁第一个发现的，我们让第一个发现者到前边来说说。

生：虽然这两条边和大于第三边，但这两条边的和又小于第三边了。

师：能换个角度想想吗？这两边的和大于它了呀，怎么又拼不成了呢？

生：这条边太长了。

师：你说得非常好，你是想说长得太多了，长到一定的程度就围不成了，量变决定了质变。

师：只满足一组两边之和大于第三边行不行。几组能修改我们的推测？能在这个基础上再加一个词吗？思维的碰撞总能产生智慧的火花。

师：我们对任意有了进一步的理解。（贴红字：任意。）

师：通过刚才我们的折拼，你对这个结论还有什么深刻的理解？

…………

评析：因学生手中有两类不同长度的铁丝，从而制造出围成结果的冲突，借助学生的汇报、展示、交流、补充，引导学生一次次加深对三角形三边关系的理解。

四、联系生活，拓展应用

师：接下来请你判断这几组小棒能不能拼成一个三角形。请你用这个手势表示能拼成，用这个手势表示拼不成。谁来说说你是怎样判断的？

（1）8，11，11闭上眼睛想象这个三角形是什么样。

（2）6，6，6再闭上眼睛想象一下这个三角形的样子，你想象的三角形是不是这个样子（课件）？它叫等边三角形，以后我们会继续研究它。

（3）已经有了3厘米和8厘米两根小棒，第三根小棒可能是多少呢？可以在头脑中空间想象一下，也可以借助学具袋2的学具操作，同桌商量一下。

师：这节课我们由生活实际探索出了三角形三边关系，其实它还可以解释很多生活现象，比如走路等等。生活中你遇到过哪些现象可以用这节课知识解释的？

师：是呀，不过虽然可以减少路程，也不是什么时候都可以的，像这样横穿草坪、斜穿马路可以吗？你想对他们说些什么？

师：生活中，为了遵守规则，需要绕一些弯路，比如我们想从A点到C点，应该怎样走（A-B-C，A-D-C）。但是因为交警叔叔就是根据三角形三边关系设计了这样的对角斑马线，现在从A到C，你想怎样走，为什么？看来数学可以指导服务于我们的生活，方便我们的生活。

师：刚才我们探究了三角形的三边关系，三角形不仅由3条边组成，它还有3个角。那三角形角之间有什么关系，角与边又有什么关系呢？看来三角形还有很多奥秘等待我们去探索，让我们带这些数学思考期待以后的学习。

评析：应用三角形三边关系，发散学生的思维，渗透区间的意识。最后将本节课探索的关系延伸到课堂以外，为后续学习做好铺垫。

总评：

《数学课程标准》指出，数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用。刘玉强老师执教的这节《三角形三边关系》正是建立在学生对三角形初步认识的基础之上进行的，并且遵循了学生的认知规律。学生亲自动手操作探寻三角形三边的关系，巧妙地将数学知识与生活中的数学紧密相联，培养了学生思维能力和空间想象能力，使每一位學生都能获得良好的数学教育，不同的学生在数学上得到不同的发展，这一课程理念有效地融入数学课堂之中。

一、遵循学生认知规律，巧妙创设问题情境

本节课从学生的已有生活经验出发，重新组织了教学内容，创新的设计改变了大多数教师的教学思路，遵循了教材的设计理念，尊重了学生的认知规律，顺应了学生的发展需求。无论是几何画板的引入，还是学具的设计都别具匠心，都是为学生和课堂服务。学生在探究活动中不仅自主推测验证了结论，而且获得了积极的情感体验。

上课伊始教师设计了“老师每天从家去学校走哪条路最近”这一与现实生活相关的问题情境，以唤醒学生的生活经验，从而提炼出数学事实——两点间所有连线中线段最短。然后通过几何画板、学具操作、观察交流、发现规律，归纳总结出三角形三边的关系。

而教材把例3安排在例4之前，是有其合理之处的。首先，例3的内容贴近生活，学生有充分的生活经验，能唤起学生学习数学的兴趣。其次，用“两点之间线段最短”来解释“三角形三边关系”符合学生的认知规律。找到三角形三边关系的逻辑起点，用公理推测三角形三边的关系，即借助直观的生活经验去构建抽象的数学知识，教师的这个问题情境设计合理有效。

二、重视数学活动经验，信息技术融于教学

在学习认识公理时，公理是不需要验证的，但需要学生能从生活经验中提取并描述出来。为此刘老师精心地设计了“路线模型”，设计实物模型目的是让学生直观地观察并理解“公理”，为后续学习三角形三边的关系做好铺垫，由“路线模型”抽象出三角形，由公理推测三角形三边的关系。

然而研究三角形三边的关系，前提是先存在三角形，然后再研究三边关系。教学中先让学生由公理推测，刘老师巧妙地运用了几何画板来验证推测。信息技术与数学课堂的高度融合，也使得学生在知识的理解上更加深刻。软件的图形绘制直观而且变化丰富，几何画板的任意性恰恰反应出规律的普遍性，用不完全归纳法进行验证。

动手实践验证过程中，教具的精心设计也帮助学生理解三角形三边的关系，重视数学活动经验。因为三角形三边关系是小学阶段唯一一个系统研究的不等关系，而两根铁丝的教具设计，帮助引导学生将目光和思考放在两边和与第三边的大小关系上——铁丝“变”的是形状，一根变两段，铁丝“不变”的是长度，两边的和不变。学生在操作的过程中找到了围成的原因——两边的和大于第三边，也找到了围不成的原因——两边的和等于第三边。没有人去折短边，因为一定是围不成的，也能抽象提取出两边的和小于第三边也是围不成的。

可以说课堂上教师设计的每一个环节都是环环相扣、别具匠心的，都是适当适时地给予学生学习的点拨。再比如铁丝中“折长的一定行吗”这一问题的设计，再一次引发学生思考并补充推论。“如果只折一点点也是不行”，换个角度思考问题，让学生深刻理解“任意”的含义，让学生经历一步步的实践与探究、归纳，最后总结完善出三角形三边的关系。

三、习题设计精、准、活、实，数学思想点滴渗透

本节课中习题的设计也是亮点不断，不仅巩固练习了三角形三边的关系，培养了学生的空间想象能力，特别是“活动三角形”学具的设计，更是让学生亲自动手操作，并去观察第三条边的取值范围，巧妙直观地渗透了区间的思想。

全课的结尾体现了——“学有用的数学”这一理念。特别是对角斑马线的引入，不仅拓展了学生的思维，鼓励学生将学到的知识应用于实际生活中，学有用的数学，数形结合建模等思想在探索中点滴渗透。

其实提到三角形三边关系，应该会想到的还有“等边三角形”“等腰三角形”“边与边之间的关系”——三角形三边关系、“角与角之间的关系”——三角形内角和、“边和角的关系”——大边对大角，三角函数等。而在三角形中还会有很多的“关系”在未来需要继续探索和研究。全课通过“实践—反思—再实践”这一系列的教学过程，体现了“用好教材”的理念，做到：用好教学情境、用活教学素材、用足几何画板。同时教师大胆调整教学路径，通过学生猜测、验证、证明、归纳等数学活动，引导学生探索三角形三边的关系，重视学生推理能力和空间观念的发展，有效落实了数学核心素养。

另外，本节课也存在一些不足：

首先，时间安排还可以进一步优化。当让学生独自思考如何验证“中间这条路最近”的时候，几位学生都没有答到用路线模型实际比较的方法，课堂上教师没能及时引导和点拨，继续让学生独立思考，浪费了一些课堂时间。其次，课堂开放不够。在最后生活练习中，学生在没有指导的情况下想到了对角斑马线缩短过马路时间的方法，教师应及时给予他们肯定并展示图片，顺势将本节课知识拓展应用到实际生活中去，解决实际生活问题。课堂应该更放手于學生，真正体现学生为主体的生态课堂。

编辑/魏继军