立足基本图形 解法自然生成

☉江苏省华罗庚中学 王国俊

图形的应用在各级各类考试，特别是高考中出现的频率越来越高，内容可以涉及方方面面的问题：集合中的图形、函数的图像、几何图形（平面几何、平面解析几何、立体几何）、三角函数的图像、算法的程序框图、统计图、概率中的图形以及线性规划的平面区域等.其主要目的是引导学生深入生活，在了解社会实际问题的同时不断扩大自身的知识面，才能在实际解决问题时立于不败之地.关键是正确理解相关图形的变化规律，通过图形特征加以综合分析.

一、由函数判断图形

此类问题往往直接结合函数的基本性质来判断、利用函数的变化规律加以排除、结合函数的特征加以特殊应用、利用实际问题加以一般性转化等，抓住函数的特点，利用性质法、排除法、特殊值法等加以解决.

例1 （原创题）若直线l：y=kx+1被圆C：x2+y2-2x-3=0截得的弦长为t，则t关于k的函数关系式为t=f（k），则该函数t=f（k）的图像大致为（）.

分析：直接利用直线与圆的位置关系来确定相应的函数解析式难度比较大，通过特殊情况下对应的弦长的最值情况加以排除，切入点巧妙，简单快捷.

点评：函数与图像问题，是高中数学的主体内容.函数可以把图像精确化、细微化；反之，图像能使函数直观化、形象化.高中对函数图像的要求有三个方面：作图、识图、用图.作图是基本能力，识图是综合素质，用图是最终目标.

二、由图形辨别信息

此类问题往往结合已知图形的特征，经常涉及集合的包含关系、统计图形、概率图形等，根据相应图形中的信息得到对应的数据信息，再结合对应的数据来解决相应的问题，达到由图形正确处理对应的信息问题.

例2（改编题）有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图1所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间［10，12）内的频数为（ ）.

A.18 B.36 C.54 D.72

对于高职院校学生来讲，英语依旧是必修课程，但是非英语专业的学生在学习英语时难度相对较大，而且大多数学生会对英语产生抵触情绪。再加上现实生活中，缺乏完善的语言应用环境，学生在学习英语口语时，很容易出现错误，即少数学生的英语应试能力良好，而口语表达能力明显不足，无法用简单的英语进行交流。语言之所以存在，就是为给人际交往提供便利，如果英语学习只是单纯应对考试，那么真正价值就难以得到充分发挥。所以，英语教师通过深化改革并创新教学模式，以此提高学生的口语表达能力已经成为必然趋势。PBL教学模式以其自身的独特优势，在英语口语教学中备受青睐，其主要通过创建语言环境，设置开放式，具有现实意义的问题。

分析：正确分析统计中对应的频率分布直方图所对应的统计信息，再结合这些统计信息得到对应，根据对应的公式加以计算.

解析：根据频率分布直方图，［10，12）这个区间所对应的频率为：1-（0.02+0.05+0.15+0.19）×2=0.18，其对应的的数值为0.18÷2=0.09，那么容量为200的样本的数量在［10，12）的频数为200×0.18=36.故选B.

图1

点评：通过频率分布直方图中的图形信息来进行相关的运算问题，达到运用图表解决实际问题的水平和能力.正确读懂频率分布直方图，根据相应图中的信息得到对应的数据信息是统计数据处理的关键所在.

三、由图形转化图形

此类问题往往出现在立体几何中，把相应的三视图转化为对应的立体几何的直观图、把对应的平面几何图形折叠成相应的立体几何图形等，通过图形的转化，建立对应之间的等量关系与不变量，结合图形的性质加以分析与处理.

例3（2015年1月湖北省襄阳市普通高中调研统一测试）若某多面体的三视图如图2所示，则此多面体外接球的表面积是（ ）.

分析：关键是结合三视图准确确定对应的几何体的直观图，再结合直观图的性质确定其对应的外接球问题即可.

解析：结合三视图可得其对应的几何体如图3所示，其是正方体去掉一个角后的几何体，它的外接球就是该正方体的外接球，外接球的直径就是正方体的对角线，而其对角线的长度为=，其对应的外接球的半径为那么对应的外接球的表面积为S=4πr2=3π.故选D.

图2

图3

点评：在确定三视图中的有关表面积问题时，一般要结合直观图的实物加以分析，通过构造各长度之间的相应关系式，并结合简单几何体的表面积公式加以求解.关键是对几何体正确还原，并根据三视图的长度求出几何体的几何元素的长度，再代入对应的公式进行求解，考查了空间想象能力.

四、由图形解决问题

此类问题往往结合给定的函数图像、几何图形及其变化的特殊加以分析，确定函数的变化规律以及图形中特征所在，进而用来解决一些相应的问题（包括数学问题、实际应用问题等），进而达到利用图形解决问题的目的.

A.S圆＞S圆环B.S圆=S圆环C.S圆＜S圆环D.不确定

图4

分析：设截面与水平面α的高为h（0≤h≤R），结合图形以及比例关系分别确定截面圆与圆环对应的面积，进而加以分析与比较，得以正确判断.

解析：设此时截面与水平面α的高为h（0≤h≤R），那么S圆=πr2=π（R2-h2），S圆环=πR2-πr2，而这里有，即r=h，则有S圆环=πR2-πh2，故有S圆=S圆环.故选B.

点评：通过图形中的动态变化规律来解决静态的函数关系、不等关系等是图形问题中比较常见的一类应用类型，解决此类问题的关键是引入对应的参数，通过计算与比较来加以正确分析与判断，进而达到解决问题的目的.

五、由图形确定函数

此类问题往往结合图形（函数图像、向量、算法的程序框图等）特征，建立相应的函数关系式来解决对应的函数问题，关键是抓住图形特征，分析图形中的规律与关键点，进而建立函数关系式来达到解决问题的目的.

例5（广东省广州市2015届高三1月模拟考试）某算法的程序框图如图5，若输出的则输入的x的值可能为（ ）.

A.-1 B.0 C.1 D.5

分析：结合算法的程序框图确定分段函数的解析式，通过分段函数的取值情况加以分类讨论，结合各对应的选项加以判断即可.

图5

点评：正确理解相应的算法的程序框图，利用图形转化为相应的分段函数，进而结合函数值的关系来确定函数值问题、利用基本不等式与函数式的求解来解决最值问题等，达到利用图形解决函数问题的目的.

众所周知，通过图形转化为代数、通过代数转化为图形或通过图形转化为图形等，巧妙通过数形结合，根据对应的图形巧妙转化为对应的代数关系，或结合题设特点巧妙的构造符合条件的图形，或借助于已知图形画出另外的图形，通过对代数的研究、图形的观察与分析，借助图形的直观性，往往能简便、准确求解.W