与二项分布相关的极限定理

聂凡皓

【摘要】本文主要介绍了与二项分布相关的一些极限定理，在第一部分首先介绍了三种常见的离散型随机变量，他们分别服从二项分布、超几何分布和泊松分布；在第二部分分别介绍了超几何分布与二项分布的极限定理以及二项分布和泊松分布之间的极限定理，并给出了极限定理背后的实际含义。

【关键词】二项分布 超几何分布 泊松分布 极限定理

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）30-0119-02

一、几种常见的离散型随机变量

（一）二项分布

二项分布定义：假设事件A在一次伯努利试验中出现的概率为p，在n重伯努利试验中，记随机变量X1为事件A出现的次数，则称随机变量X1服从二项分布，记作：

X1～B（n，p）.

二项分布的概率分布为：

P（X1=k）=C■■pk（1-p）n-k，k=0，1，…，n.

（二）超几何分布

超几何分布定义：假定在N个小球品中有M个小球为蓝色小球，其余小球为红色小球，在N个小球中随机抽取n个小球，记X2为蓝色小球的个数，则称随机变量X2服从超几何分布，记作：

X2～H（N，n，M）.

超几何分布的概率分布：

P（X2=k）=■.

其中，k∈{0，1，2，…，min{n，M}}.

（三）泊松分布

假设随机变量X3的可能取值为一切非负整数值，并且，

P（X3=k）=■e-？姿，k=0，1，2，….

其中，？姿>0，k为常数，则称随机变量X3服从泊松分布，记作：

X3～P（？姿）.

二、三种离散型随机变量之间的联系

（一）超几何分布与二项分布之间的极限定理

假设随机变量服从超几何分布，即：

P（X=k）=■

并假设，M=Np，其中0

则我们可以得到，

P（X=k）=■

=■·■·■

=C■■·■·■

由于，

■=p， ■=1-p

则可以得到，

■■=pk.

■■=（1-p）n-k.

因此我们有，

■■=C■■pk（1-p）n-k

故當N足够大时，超几何分布逼近了二项分布。

从超几何分布和二项分布所代表的实际意义来看，我们假设蓝色小球总数M占小球总数N的比例一定，也就是说蓝色小球的概率是确定的，并且当小球总数N足够多，抽取的小球数n比较少时，我们进行有放回的抽取小球和无放回的抽取小球，抽到蓝色小球的概率几乎是不变的，也就是说从所有小球抽取n个小球出来，可以看作是一件一件抽取出来的，即可以看作是n次独立重复试验，这样超几何分布在极限意义下（总小球数N足够多时）逼近二项分布。

（二）二项分布与泊松分布之间的极限定理

在介绍本小节的结论之前，首先介绍一个高等数学中一个基础的重要极限公式，即：

■1+■■=e.

这个公式还有一个重要的推论，

■1+■■=eC.

这里C为常数，这个推论将在下文的推导中用到。

假设随机变量序列{Xn}每一项都服从二项分布，即

Xn～B（n，pn）.

并且有，

■npn=？姿.

其中，？姿>0.

P（Xn=k）=C■■p■■（1-pn）n-k

=■p■■（1-pn）n-k

=■p■■（1-pn）n-k

注意到，

■（n-m）pn=？姿

这里，0≤m≤n，并且m为固定的自然数。

因此有，

■n（n-1）…（n-k+1）p■■=？姿k.

另由重要极限的推论我们可以得到，

■（1-pn）n-k=■1+■■=e-？姿

因此有，

■P（Xn=k）=■e-？姿.

因此二项分布逼近了泊松分布。

事实上，泊松分布是二项分布n“很大”而p“很小”时的一种极限形式。二项分布是说，已知事件A发生的概率是p，那么做n次伯努利试验，事件A发生的次数就服从于二项分布。泊松分布是指某段连续的时间内某事件发生的次数，而且“某事件”发生所用的时间是可以忽略的。例如，在五分钟内，电子元件遭受脉冲的次数，就服从于泊松分布。假如我们把“连续的时间”分割成无数小份，那么每个小份之间都是相互独立的。在每个很小的时间区间内，电子元件都有可能“遭受到脉冲”或者“没有遭受到脉冲”，这就可以被认为是一个p很小的二项分布。而因为“连续的时间”被分割成无穷多份，因此n（试验次数）很大。所以，泊松分布可以认为是二项分布的一种极限形式。因为二项分布其实就是一个最最简单的“发生”与“不发生”的分布，它可以描述非常多的随机的自然界现象，因此其极限形式泊松分布自然也是非常有用的。

结束语

与二项分布相关的极限定理是概率论中较为重要的组成部分，更是高中时期乃至大学时期我们所研究的概率学相关知识的重点。本文从二项分布引入，对包括二项分布在内的超几何分布、泊松分布等极限定理进行了相关的证明与论述，内容较为抽象，理解起来有一定的难度，遂对两个极限定理举了实际例子来解释。本文所介绍的概率分布在生活中应用较多，如在判断公司盈利概率问题或彩票中奖概率等问题上有着一定作用。

参考文献：

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