例谈圆锥曲线中最值与范围问题的解决策略

（甘肃省民勤县第一中学 甘肃民勤 733300）

圆锥曲线中最值与范围问题一直是高考中的热点和难点，其中有不少试题涉及到最值与范围，对于这些问题，很多同学望而生畏，骑虎难下，深感困难重重，难以决策。这类问题，也并非无规可寻，下面通过几个典型题目谈谈解决圆锥曲线中最值与范围问题的策略。

题型一：最值问题

根据抛物线的定义知，|PP′|=|PF|，

[讲评]一看到本题，不少同学可能会依常理“出版”——构造函数，将问题转化为求函数的最值，然而其最值很难求得，这也恰恰落入了命题者有意设置的“圈套”之中，事实上，与抛物线的焦点（或准线）相关的最值问题，更多的是考虑数形结合，利用抛物线的定义进行转化，然后再利用三点共线或三角形的三边关系加以处理。

探究1 圆锥曲线中最值的求法有两种：

（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何体特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法。

（2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等。

题型二 范围问题

（2）若|AP|=|OA| ，证明直线OP的斜率k满足|k|>

[解析]（1）设点P的坐标为（x0，y0），由题意，有

APBP00(a2-2b2)y02=0。由于y0≠0，

故 a2=2b2，于是所以椭圆的离心率

（2） 依题意，直线OP的方程为y=kx，设点P的坐标为（x0，y0），

消去y0并整理得

由|AP|=|OA|，A（-a，0）及y0=kx0，得

2>4k2+4，即k2+1>4。因此k2>3，所以|k|>

探究2 求参数范围的常用方法有四种：

（1）函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解。

（2）不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的范围。

（3）判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数范围。

（4）数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解。