(甘肃省民勤县第一中学 甘肃民勤 733300)
圆锥曲线中最值与范围问题一直是高考中的热点和难点,其中有不少试题涉及到最值与范围,对于这些问题,很多同学望而生畏,骑虎难下,深感困难重重,难以决策。这类问题,也并非无规可寻,下面通过几个典型题目谈谈解决圆锥曲线中最值与范围问题的策略。
题型一:最值问题
根据抛物线的定义知,|PP′|=|PF|,
[讲评]一看到本题,不少同学可能会依常理“出版”——构造函数,将问题转化为求函数的最值,然而其最值很难求得,这也恰恰落入了命题者有意设置的“圈套”之中,事实上,与抛物线的焦点(或准线)相关的最值问题,更多的是考虑数形结合,利用抛物线的定义进行转化,然后再利用三点共线或三角形的三边关系加以处理。
探究1 圆锥曲线中最值的求法有两种:
(1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何体特征及意义,则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法。
(2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则可首先建立起目标函数,再求这个函数的最值,求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等。
题型二 范围问题
(2)若|AP|=|OA| ,证明直线OP的斜率k满足|k|>
[解析](1)设点P的坐标为(x0,y0),由题意,有
APBP00(a2-2b2)y02=0。由于y0≠0,
故 a2=2b2,于是所以椭圆的离心率
(2) 依题意,直线OP的方程为y=kx,设点P的坐标为(x0,y0),
消去y0并整理得
由|AP|=|OA|,A(-a,0)及y0=kx0,得
2>4k2+4,即k2+1>4。因此k2>3,所以|k|>
探究2 求参数范围的常用方法有四种:
(1)函数法:用其他变量表示该参数,建立函数关系,利用求函数值域的方法求解。
(2)不等式法:根据题意建立含参数的不等式,通过解不等式求参数的范围。
(3)判别式法:建立关于某变量的一元二次方程,利用判别式Δ求参数范围。
(4)数形结合法:研究该参数所表示的几何意义,利用数形结合思想求解。